СТАТИЧЕСКИ НЕОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ

В реальной практике встречаются такие конструкции, при рас­чете которых одних лишь уравнений равновесия оказывается не­достаточно, в связи, с чем требуется формулирование дополнитель­ных уравнений, связанных с условиями деформирования конструк­ции.

Статически неопределимыми называются системы, в которых число неизвестных реакций и внутренних силовых факторов превышает число уравнений равновесия. Разность между числом неизвестных и числом уравнений равновесия называют степенью статической неопределенности.

По сравнению со статически определимыми системами, в ста­тически неопределимых системах имеются дополнительные связи, которые называются лишними. Термин “лишние связи” является условным. Эти связи являют­ся лишними с точки зрения расчетных предпосылок. В действи­тельности эти связи создают дополнительные резервы для конст­рукций, как в плане обеспечения её жесткости, так и прочности.

Раскрывая эти уравнения, получаем замкнутую систему линей­ных уравнений относительно неизвестных усилий N₁ и N₂, в кото­рой количество уравнений равно количеству неизвестных:

-N₁ - N₂ sin a = 0; -N₂ cos a - Р = 0.

Если конструкцию крон­штейна усложнить, добавив еще один стержень (рис. 2.8, б), то усилия в стержнях N₁, N₂ и N₃ прежним способом определить уже не удастся, т.к. при тех же двух уравнениях равновесия имеются уже три неиз­вестных усилия в стержнях. В таких случаях говорят, что сис­тема один раз статически неопределима. Разность между числом неизвестных усилий и количеством независимых (значащих) урав­нений равновесия, связывающих эти усилия, называется сте­пенью статической неопределимости рассматриваемой системы.

Под n-раз статически неопределимой системой понимается система, в которой число неизвестных внешних опорных реакций и внутренних усилий превышает число не­зависимых и значащих уравнений равновесия на n единиц.

Методика решения стержневых статически неопределимых задач.

Первоначально рассматривают статическую сторону задачи, для чего составляют уравнения равновесия отсеченных элементов конструкции, содержащие неизвестные усилия. Определяют степень статической неопределимости.

Затем, рассматривая систему в деформированном состоянии, устанавливаем связи между перемещениями (деформациями) отдельных элементов конструкции. Эти уравнения называют уравнениями совместности перемещений.

Перемещения в полученном уравнении выражаем через усилия, используя закон Гука. Совместное решение уравнений статики и уравнений совместности перемещений позволяет найти неизвестные усилия в стержнях системы.

Особенности решения статически неопределимых задач.

1. Предположим, что до нагружения бруса между его правым торцом и заделкой имелся малый зазор ∆. Если при нагружении бруса зазор не закрывается, то система статически определима. Если величина абсолютного удлинения бруса (в предположении, что он может деформироваться свободно, т.е. правая заделка вообще отсутствует) больше зазора, то между правым торцом бруса и заделкой после его нагружения возникает сила взаимодействия, определить которую с помощью одних лишь уравнений статики нельзя – система будет статически неопределима. Отличие ее от предыдущей состоит в том, что суммарное (от заданных сил и правой опорной реакции) перемещение правого торца бруса следует приравнять не нулю, а величине зазора

В остальном решение не отличается от рассмотренного.

2. Если брус подвергается нагреву (или охлаждению) на ∆ t, то, составляя выражение для суммарного перемещения сечения B, надо учесть свободное температурное удлинение (укорочение) бруса. Например, если брус нагревается по всей длине, то

где α – коэффициент температурного линейного расширения;

l – длина бруса.

В случае наличия зазора (до нагружения и нагрева) между торцом бруса и заделкой суммарное перемещение, вычисленное с учетом влияния температуры, следует, как уже указывалось, приравнять величине зазора. Конечно, это имеет смысл лишь при условии, что при нагружении и нагреве бруса зазор закрывается, в противном случае – система статически определима.

Пример 2.8. Для бруса, жестко заделанного обоими концами и нагруженного вдольоси силами F₁ и F₂, приложеннымив его промежуточных сечениях (рис. 2.9, а), требуетсяпостроитьэпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений.

Решение.

В данном случае имеем систему сил, направленных но одной прямой, и статика дает лишьодно уравнение равновесия

или

Для составления уравнения перемещений отбросим одну из за­делок, например правую, и заменимее действие на брус соответст­вующей силой реакции . Врезультате получен брус, защемлен­ный одним концом (статически определимыйбрус) и нагруженный, кроме заданных сил и неизвестной пока силой X = (рис. 2.9, б).

Брус нагружен также, как заданный эквивалентен заданному. Следовательно, перемещение сечения В рас­сматриваемого бруса равно нулю, так как фактически (в заданном брусе) это сечение жестко заделано

Но - суммарное перемещение сечения В, т.е. от действия всех сил (. Применив принцип независимости действия сил, представим уравнение перемещений в виде

т.е. перемещение от совместного действия всех сил равно алгебраической сумме перемещений от действия каждой силы в отдельности:

Определяя перемещение сечения B от каждой силы в отдельности, предполагаем, что она действует только одна (конечно, с соответствующей ей реакцией опоры A), а остальные силы в это время отсутствуют.

Подставив найденные значения , , в уравнение перемещений, получим

откуда Окончательно получаем

Конечно, можно не определять специально реакцию левой заделки, так как она численно равна продольной силе в сечениях крайнего левого участка бруса, а эпюру продольных сил можно строить, начиная с правого конца.

Построение эпюры продольных сил и нормальных напряжений ничем не отличается от рассмотренных ранее примерах, так как после определения реакции брус по рис. 2.9, б представля­ет собой статически определимый брус, нагруженный известными силами. Эпюры представлены на рис. 2.9, в, г.

Рис. 2.9. К примеру 2.8

Эпюру перемещений строим, начиная с левого конца бруса; при построении используем эпюру N. Построение эпюры перемещений служит в некоторой степени для контроля правильности решения задачи. Действительно, начиная строить эпюру от левого заделан­ного конца и получая в сечении В ординату эпюры, равную нулю, мы тем самым имеем подтверждение правильности определения реакций (рис. 2.9, д).

Для контроля правильности решение рассмотренной и подобных ей задач можно проверить, соблюдается ли равенство потенциальной энергии деформации бруса и работы приложенных кнему внешних сил.

Потенциальная энергия деформации бруса ступенчато-переменного поперечного сечения, нагруженного сосредоточенными силами, определяется по формуле

Подставляя данные, получим

Работа внешних сосредоточенных сил определяются по формуле

где – перемещение точки приложения сил , вызванное действием всех приложенных к брусу сил.

Значения берем из построенной эпюры перемещений (рис. 2.10, д):

Таким образом, равенство выполняется.

В задаче «Б» расчетно-проектировочной работы № 1 необходимо учитывать напряжения, которые возникают в стержнях вследствие их нагрева (охлаждения), а также монтажные напряжения, возникающие при сборке вследствие натяга Δ. В этом случае общий подход к решению статически неопределимых задач не изменяется. Отличие заключается в составлении уравнения совместности перемещений. При нагреве отдельных элементов конструкции алгебраическим суммированием учитываются удлинения от внутренних силовых факторов и изменения температуры, последние определяют по формуле

(2.13)

где – абсолютное удлинение стержня от температуры;

α – средний коэффициент линейного расширения материала стержня;

l – длина стержня;

– изменение температуры.

Наличие монтажного зазора Δ учитывается при составлении уравнения совместности перемещений.

Порядок расчета статически неопределимых систем показан на рис. 2.10.

Задано Внешние силы Р Геометрические размеры l, F Механические и упругие характеристики стержней

Составление уравнений равновесия для заданной системы

Выражение перемещений (удлинений) через усилия, используя закон Гука

Определение нормальных напряжений в стержнях

Рис. 2.10. Порядок расчета стержневой статически неопределимой системы

Пример 2.9. Задача «Б» расчетно-проектировочной работы № 1.

Расчетная схема представлена на рис. 2.11, а. Стержень 1 изготовлен из алюминиевого сплава, его параметры: площадь А₁ = F, длина A = l₁,модуль упругости E₁ = 0,7∙10⁵ МПа, предел текучести МПа, коэффициент линейного расширения стержень нагревается на . Стержень 2 – стальной, его параметры: площадь А₂ = 1,5F, длина B = 2l, модуль упругости МПа, предел текучести МПа, коэффициент линейного расширения стержень нагревается на . При расчете принять P = 100 кН, F = 5 см², l = 20 см, Δ = 0,0005 l

а)	б)
в)	Рис. 2.11. К расчету статически – неопределимой стержневой системы

Поиск по сайту: