СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ. Задача 3.1. Для стального вала (рис

Задача 3.1. Для стального вала (рис. 3.1) мощностью Р₀ = 120 кВт, Р₁ = 30 кВт, Р₂ = 20 кВт, Р₃ = 70 кВт, длиной а = 0,25 см, ω = 85 рад/с, = 25 МПа, = 0,8 град/м. Требуется:

1) определить скручивающие моменты: подводимый к шкиву 0 и снимаемые со шкивов 1, 2, 3;

2) построить эпюры крутящих моментов;

3) определить диаметр ступенчатого вала на каждом участке из условия прочности (окончательно принимаемые значения должны быть округлены до ближайших стандартных) из следующего ряда мм:

30, 35, 40, 45, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 125, 140, 160, 170, 180, 200;

4) вычертить в масштабе эскиз ступенчатого вала;

5) построить эпюру углов закручивания относительно левого шкива на валу;

6) проверить жесткость вала при кручении.

Решение.

Определяем внешние скручивающие моменты (рис. 3.1, а):

Разбиваем вал на характерные участки. Границами участка яв­ляются сечения, в которых приложены внешние скручивающие мо­менты (рис. 3.1). Находим крутящие моменты на каждом участке вала. Для этого воспользуемся методом сечений.

Крутящий момент в произвольном сечении вала численно равен алгебраической сумме внешних моментов, действующих по одну сторону от выбранного сечения.

В нашем случае для сечений 1 - 1, 2 - 2, 3 - 3, 4 - 4 соответст­венно имеем:

Строим эпюру крутящих моментов (рис 3.1)

Рис. 3.1. К примеру 3.1

Определяем диаметр вала на каждом участке (I - IV) если из условия прочности

IIучасток: принимаем d₂ = 40мм;

IIIучасток: принимаем d₃ = 60мм;

IVучасток: принимаем d₄ = 45мм.

На участке I диаметр вала принимаем конструктивно d₁ = 35 мм.

Для определения углов закручивания вала предварительно вычисляем полярные моменты инерции (I_p, м⁴) отдельных сечений вала:

Находим углы закручивания (, град) соответствующих участков вала:

Так как для вращающегося вала не имеется неподвижных сечений, сечение, проходящее через точку А считаем условно неподвиж­ным, т.е.:

По этим данным строим эпюру (в градусах) (рис. 3.1).

Относительные углы закручивания (, град/м) на отдельных участках вала соответственно равны:

Жесткость вала при кручении обеспечена, так как

Задача 3.2. Определить диаметр стального вала, вращающегося с угловой скоростью = 100 рад/с и передающего мощность Р = 100 кВт. Допускаемое напряжение = 40 МПа, допускаемый угол закручивания = 0,5 град/м, G = 8·10⁴ МПа.

Решение.

Момент, передаваемый валом, определяем по формуле

Т_е = Р/ = 100 000/100 = 1000 Н·м.

Крутящий момент во всех поперечных сечениях вала одинаков:

T = T_e = 1000 H·м = 1 кН·м = 1·10^-3 МН·м.

Диаметр вала из условия прочности определяем по формуле (3.3)

м = 5 см = 50 мм.

Из условия жесткости (3.9) определяем диаметр вала:

= 5,2 см = 52 мм.

Диаметр вала в данном случае принимаем из условия жесткости и принят равным d = 52 мм.

Пример 3.3. Брус круглого поперечного сечения, изображенный на рис. 3.2, а, нагружен парами сил, плоскости действия которых перпендикулярны к его оси. Из расчета на прочность определить диаметры поперечных сечений участков I, II и III, если [ τ _x] = 60 МПа. Построить эпюру угловых перемещений поперечных сечений бруса.

Решение.

Применяя метод сечений, оставим правую и отбросим левую часть бруса. Проводим произвольное сечение на участке I и составляем уравнение равновесия для оставленной части бруса:

В любом сечении участка I крутящий момент имеет найденное значение

Эпюра крутящих моментов на этом участке прямая, параллельная оси абсцисс.

Условимся считать крутящий момент положительным, если смотреть на торец оставленной части бруса, видим момент направленный по часовой стрелке.

Согласно этому правилу отрицателен и ординаты эпюры откладываем вниз от ее оси.

Проводя сечение на участке II, и учитывая, что крутящий момент в произвольном сечении равен сумме внешних скручивающих моментов, приложенных к брусу по одну сторону от этого сечения, найдем:

На участке II крутящий момент постоянен и по принятому правилу знаков положителен.

Аналогично для сечения участка III имеем:

Эпюра крутящих моментов, построенная по полученным данным, показана на рис. 3.2, в.

Заметим, что ординаты эпюры на участке III дают значение реактивного момента .

Правило проверки построения эпюр: при нагружении бруса сосредоточенными моментами, эпюра на отдельных участках ограничена прямыми, параллельными оси абсцисс; в местах приложения внешних моментов (пар сил) получаются скачки на величину этих моментов.

Требуемая величина полярного момента сопротивления поперечного сечения определяется по формуле (3.4).

Для I участка

Учитывая, что для бруса круглого поперечного сечения имеем:

Округляя по ГОСТ 6636 – 69, принимаем

Рис. 3.2. К примеру 3.3

Для участка II

так как крутящие моменты в поперечных сечениях по абсолютной величине одинаковы.

Для участка III

, тогда

Округляя по ГОСТ 6636 – 69, принимаем

Построение эпюры углов поворота поперечных сечений вала начинаем с заделки, т.е. от неподвижного сечения, .

Угол поворота сечения B

Угол поворота сечения С равен алгебраической сумме углов поворота сечения В (φ _в) и сечения С относительно В (φ_с-в)

Аналогично определяется угол поворота сечения D (рис. 3.2).

рад.

Пример 3.4. Для ступенчатого вала, имеющего заданные соотношения размеров и нагрузки (рис. 3.3), необходимо выполнить следующее.

1. Построить эпюру крутящих моментов, касательных напряжений, угловых перемещений поперечных сечений (эпюру М_к строить в долях ml, а эпюру τ в долях ml /d³).

2. Из условия прочности для заданного [τ] = 80 МПанайти размеры поперечных сечений вала.

3. При вычисленных в п. 2 размерах построить эпюру угловых перемещений.

При расчете принять: М₁ = 10М, D₁ = 1,5 d, l₁ = l, М₂ = М, D₂ = 2 d, l₂ = l, М₃ = М, D₃ = 3 d, l₃ = l, m = 2 Н∙м, l = 50 м, М = ml, G = 8∙10⁴ МПа.

Решение.

Расположим начало координат в сечении вблизи заделки бруса, направив ось z, как показано на рис. 3.3, а.

Определим опорный момент ;

или

при М = ml получим

Для определения крутящего момента в сечениях бруса воспользуемся методом сечений. Рассмотрим первый участок, для которого продольная координата 0 ≤ z₁ ≤ l. Направим крутящий момент в сечении согласно правилу против часовой стрелки и запишем

или

На границах участка функция принимает значения

при z₁ = 0 , при z₁ = l₁ = l

Аналогичным образом получим выражения для крутящего момента на остальных участках.

Участок 2: 0 ≤ z₂ ≤ l.

при z₂ = 0

z₂ = l₂ = l

Участок 3:

Участок 4:

Участок 5:

Эпюра крутящего момента показана на рис. 3.3, б.

Для определения максимальной величины касательных напряжений воспользуемся условием прочности (3.6).

Участок 1.

при z₁ = 0

z₁ = l₁ = l

Участок 2: 0 ≤ z₂ ≤ l.

при z₂ = 0

z₂ = l₂ = l

Участок 3:

Участок 4:

Участок 5:

На участках 3, 4, 5 величина напряжения постоянна по всей длине бруса.

Используя полученные выражения, строим эпюру максимальных касательных напряжений, рис. 3.3, в. Из эпюры следует, что опасным будет сечение, где действует максимальная величина по абсолютной величине касательного напряжения, равная .

Из условия прочности находим

м

По ГОСТ 6636 – 69, принимаем

Рис. 3.3. Схема нагружения и эпюры кзадаче 3.4

Прежде чем перейти к определению углов закручивания, найдем выражения полярного момента инерции на каждом участке бруса, воспользовавшись формулами приложения 1.

Определение углового перемещения (угла закручивания φ) производим по выражению (3.8).

На первом участке угол закручивания сечения

при z₁ = 0

z₁ = l₁ = l

Участок 2:

при z₂ = l

Участок 3:

при z₃ = 0 φ₃ = φ₂

z₃ = l₃ = l

Участок 4:

Участок 5:

при z₅ = 0 φ₅ = φ₄

z₅ = l₄ =2 l

Используя полученные выражения, строим эпюру углов закручивания рис. 3.3, г.

Из анализа результатов следует, что наиболее опасным является сечение заделки, где касательное напряжение достигает максимального значения.

Поиск по сайту: