ОСНОВНЫЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕОРИИ. Стержень испытывает кручение, если его в поперечных сечениях возникают крутящие моменты, т.е

Стержень испытывает кручение, если его в поперечных сечениях возникают крутящие моменты, т.е. моменты, лежащие в плоскости сечения. Обычно эти крутящие моменты M_z (или M_x), возникают под действием внешних моментов М, Т_е. Внешние моменты передаются на вал в местах посадки на него шкивов, зубчатых колес и т.п. Вращающиеся и работающие на кручение стержни называются валами.

Для расчета на прочность и определения перемещений попереч­ных сечений бруса надо знать закон изменения крутящих моментов по длине бруса.

Внешние скручивающие моменты и внутренние крутящие моменты можно изображать в виде линии двумя кружочками. В одном из них будем ставить точку, обозначающую начало стрелки (на нас), а в другом – крестик, обозначающий конец стрелки, направленный от нас.

Величина М, определяется с помощью метода сечений через внешние моменты: крутящий момент в произ­вольном поперечном сечении бруса численно равен сумме моментов относительно продольной оси z бруса всех внешних сил, приложенных по одну сторону от рассматриваемого поперечного сечения

Для бруса круглого поперечного сечения крутящий момент может быть записан в виде интегрального соотношения

Для бруса некруглого поперечного сечения направление касательного напряжения в произвольной точке неизвестно, и его представляют в виде двух составляющих:

Примем следующее правило знаков. Крутящий момент в сечении считается положительным, когда внешний момент вращает отсеченную часть против часовой стрелки, если смотреть на отсеченную часть со стороны сечения. Если же внешний момент вращает отсеченную часть по часовой стрелке (при взгляде со стороны сечения), то крутящий момент в сечении будем считать отрицательным.

Рассмотрим брусья круглого поперечного сечения. При кручении бруса круглого (сплошного или кольцевого) поперечного сечения справедлива гипотеза плоских сечений, расстояния между поперечными сечениями остаются неизменными и их радиусы не искривляются. Касательное напряжение в произвольной точке поперечного сечения определяется по формуле

(3.1)

где - полярный момент инерции поперечного сечения;

– расстояние от центра сечения до рассматриваемой точки.

Полярный момент инерции представляет собой сумму произведений площадей элементарных площадок на квадраты их расстояний до центра сечения, т.е.

(3.2)

Формулы для вычисления полярного момента инерции приведены в приложении 1.

Наибольшие касательные напряжения возникают в точках внешнего контура сечения и определяются по формуле

(3.3)

где - полярный момент сопротивления сечения. Эта величина является геометрической характеристикой прочности при кручении бруса круглого поперечного сечения. Формулы для вычисления полярного момента сопротивления приведены в приложении 1.

Условие прочности имеет вид:

(3.3)

где – допускаемое напряжение при кручении, величина которого зависит в основном от материала рассчитываемого бруса.

Допускаемое касательное напряжение при кручении как и основное допускаемое нормальное напряжение определяется в зависимости от вида материала:

для пластичного материала

для хрупкого материала (3.4)

где и – соответственно предел текучести и предел прочности материала при кручении;

, – нормативные коэффициенты запаса проч­ности: ; .

Если при расчете валов кроме деформации кручения необходимо учесть и деформацию изгиба, то действительное допускаемое напря­жение принимается несколько ниже. Так, например, для конструк­ционной углеродистой стали

При чистом кручении можно принимать .

Формула (3.3) представляет собой зависимость для проверочного расчета. Для определения требуемых размеров сечения (проектный расчет) из (3.3) получаем

(3.4)

При определении допускаемой нагрузки (допускаемого крутящего момента) формула (3.3) преобразуется к виду

(3.5)

Для расчетов на жесткость и решение статически неопределимых задач необходимо вычисление углов поворота поперечных сечений.

Деформация вала при кручении характеризуется углом взаим­ного поворота двух сечений (углом закручивания). Полный угол (, рад) закручивания бруса длиной l определяется по одной из сле­дующих формул:

(3.6)

где G = E/(2(1 + v)) – модуль упругости материала при сдвиге. Для ста­ли модуль упругости G = 8·10⁴ МПа.

ν – коэффициент Пуассона;

GJ_p – жесткость сече­ния вала при кручении;

GJ_p /l – жесткость бруса при кручении.

В наиболее общем случае, когда крутящий момент или поперечное сечение (или обе эти величины) изменяются непрерывно, угол закручивания (взаимный угол поворота концевых сечений бруса) вычисляется по формуле

(3.7)

Знак суммы показывает, что интеграл следует вычислять в пределах каждого участка и результаты суммируются. Для бруса, имеющего один участок, угол закручивания определяется по формуле

Если крутящий момент и поперечное сечение постоянны в пределах каждого из участков, то формула (3.7) принимает вид

где - длина i -го участка.

Все приведенные формулы дают значение угла в радианах.

Относительный угол закручивания

(3.8)

Для обеспечения нормальной работы вала и связанных с ним де­талей вал должен иметь достаточную жесткость при кручении, т.е. наибольший угол закручивания не должен превышать допускаемого, устанавливаемого на основании опыта эксплуатации конструкции.

Расчет на жесткость должен обеспечить, чтобы относительный угол закручивания (т.е. угол закручивания на единицу длины, например 1 метр), обозначаемый θ, не превышал допускаемого угла закручивания .

Условие жесткости вала при кручении имеет следующий вид:

, (3.9)

где - допускаемый угол закручивания 1 м длины вала, град/м.

В качестве наиболее распространенных значений можно указать:

Формула для расчета на жесткость (проверочный расчет) имеет вид:

(3.10)

где в Н∙м, в Па, в рад/м.

При проектном расчете из (3.10) определяется требуемая величина полярного момента инерции, а затем – требуемый диаметр вала (участка вала).

При расчете валов, как правило, бывают заданы передаваемая мощность N в кВт или в л.с. и угловая скорость ω в рад/сек или частота вращения n в об/мин. Тогда вращающий момент, передаваемый шкивом (зубчатым колесом и т.п.), вычисляется по формуле

(3.11)

где N в Вт и m в Н∙м.

Вращающий момент в кН∙м при N в кВт определяется по формуле

(3.12)

Статически неопределимые задачи на кручение, как и задачи на растяжение и сжатие, включают системы, в которых реакции закреплений и внутренние силы не могут быть определены из уравнений статики. Расчет таких систем выполняют, учитывая условия статики и условия совместности перемещений, основанные на неразъединимости элементов, составляющих систему. Эти допол­нительные условия выражают геометрические зависимости между перемещениями элементов, входящих в систему.

Если все элементы статически неопределимой системы работают только на кручение, упругие перемещения определяются через углы закручивания.

Для прямолинейного со ступенчато изменяющимся сечением стержня, жестко закрепленного по концам и испытывающего деформацию кручения, алгебраическая сумма моментов всех внешних и реактивных пар относительно геометрической оси стержня должна быть равна нулю.

Условие совместности перемещений представляет собой алгебраическую сумму углов закручивания на всех участках, которая в силу неповорачиваемости концевых сечений также должна быть равна нулю.

Поиск по сайту: