 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
СТАТИЧЕСКИ ОПРЕДЕЛИМЫЕ СИСТЕМЫ
Пример 2.1. Построитьэпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещенийпоперечных сечений по длине ступенчатого бруса, нагруженного, как показано на рис. 2.2, а. Материал бруса сталь Ст. 3; Е = 2,0∙1011 Па.
Решение. Разобьем брус на отдельные участки, начиная от свободного конца. Границами участков являются сечения, в которых приложены внешние силы, и место изменения размеров поперечного сечения. Таким образом, заданный брус имеет три участка. В данном случае, применяя метод сечений, будем оставлять левую и отбрасывать, правую отсеченную часть бруса, при этом отпадает надобность в предварительном определении реакции заделки.
Рис. 2.2. К примеру 2.1
Проведем произвольное сечение а – а на участке I ирассмотрим равновесие оставленной части, изображенной отдельно на рис. 2.2, б. Продольная сила в этом сечении N1 = F, эту силу находим, проектируя на ось z бруса внешние и внутренние силы, действующие на оставленную часть. Это же значение продольной силы сохраняется для любого сечения участка II, т.е. N1 = NII = F (для произвольною сечения b – b, проведенноюна участке II, продольная сила определяется на основе рис. 2.2, в).
Проводя сечение на участке III, например с – с, и рассматривая равновесие левой отсеченной части, изображенной на рис. 2.2, г, найдем
Реакция заделкиравна 3F.
Построим эпюру, график показывающий, как меняется N по длине бруса. Для этого, проведя ось абсцисс графика параллельно оси бруса, откладываем в произвольно выбранном масштабе значения продольных сил по оси ординат. Так как в пределах одного илидаже двух смежных участков продольная сила не меняется, то эпюра ограниченапрямыми, параллельнымиоси абсцисс.
Эпюрыпринято штриховать, при этом штриховка должна быть перпендикулярна оси бруса (рис. 2.2, д).
Эпюру нормальных напряжений (рис. 2.2, е) получим, разделив значения N на соответствующие площадипоперечных сечений бруса.
Эпюрой перемещений называется график, доказывающий закон изменения величин перемещений поперечных сечений бруса по его длине. Эпюру перемещений следует строить, начиная отзащемленного конца.
Перемещение произвольного сечения с - с, взятого впределах участка IIIбруса, равно удлинению части бруса длиной z (см. рис. 2.2, а)
Полученное выражение показывает, что перемещения возрастают (по мере удаления сечения от заделки) по линейному закону. Нетрудно убедиться, что при нагружении бруса сосредоточенными силами в пределах каждого участка эпюра перемещений будет линейной; поэтому для ее построения достаточно определить перемещения сечений, совпадающих с границами участков.
Перемещение сечения С (δс) равно удлинению участка CD
Перемещение сечения В относительно сечения С равноудлинению участка ВС
Абсолютное перемещение сечения В равно перемещению сечения С плюсперемещение сечения В относительно С
Перемещение сечения А относительно В равно удлинению участка АВ
Абсолютное перемещение сечения А найдем, просуммироваввеличины 
и 
Построенная по полученным данным эпюра перемещений показана на рис. 2.2, ж. На эпюре отмечены также относительные (взаимные) перемещения сечений, являющихся границами участков.
Следует иметь в виду, что тангенсы углов наклона отдельных участков эпюры δ пропорциональны ординатам эпюры σ на соответствующих участках. Так, например, для участка II:
Указанную зависимость между эпюрами рекомендуется использовать для качественного контроля эпюры перемещений.
Правила контроляэпюрыδ: а) чем больше ординаты эпюры σ, тем больший наклон к оси абсцисс имеет эпюра δ (при условии, что материал всех участков бруса одинаков); б) при перемене знака σ меняет знак тангенс угла наклона эпюры δ.
Пример 2.2. Для шарнирно-стержневой конструкции ABC, нагруженной в шарнире В (рис. 2.3): определить продольные силы в стержнях 1 и 2; проверить прочность стержней, если они выполнены из стали Ст5. Если α = 80°, β = 60°, F1 = 100 кН, F2 = 75 кН, А1 = 800 мм2, А2 = 1000 мм2, σТ = 200 МПа, [n] = 2.
Решение.
1. Определяем продольные силы в стержнях 1 и 2. Вырезаем узел с шарниром В. Изображаем (рис. 2.4) действующие на шарнир активные силы (силы натяжения нитей) F1, F2 и продольные силы NA, NC, направленные вдоль стержней 1 и 2, предполагая их растянутыми.
Рис. 2.3. К примеру 2.2 Рис. 2.4. К примеру 2.2
Принимая точку В за начало координат, выбираем положение осей X и Y таким образом, чтобы по крайней мере одна из них совпала с линией действия неизвестной силы, т.е. совмещаем одну из осей координат с осью одного из стержней. В данной задаче ось X совмещена с осью стержня 2.
Находим углы наклона сил к осям X и Y. Составляем уравнения равновесия для плоской системы сходящихся сил:
(2.11)
(2.12)
Решаем полученную систему уравнений. Благодаря тому, что ось X совпадает с осью стержня 2, а ось Y перпендикулярна к этому стержню, проекция силы NA (продольная сила в стержне 2) на ось Y равна нулю и второе уравнение содержит только одно неизвестное. Из уравнения (2.12) имеем:
Знак «+» перед числовым значением показывает, что стержень 1, как и предполагалось, растянут силой Nc = 73,95 кН.
Из уравнения (2.11) имеем:
Полученное числовое значение силы положительное, следовательно, стержень 2 растянут.
Решение задачи обязательно следует проверить. Лучшим способом проверки может быть либо решение с помощью иного выбора координат (решите эту задачу, совместив ось Y с осью стержня 1), либо решение другим методом, например графическим:
2. Определяем нормальные напряжения в стержнях. Учитывая, что 
, 
, имеем:
Так как для стали Ст5 
целесообразно принять стержень 2 меньшего сечения или изготовить его из другого материала.
Пример 2.3. Для стального стержня, изображенного на рис. 2.5, определить во всех поперечных сечениях продольную силу N, напряжение σ, вертикальные перемещения δ для всех поперечных сечений стержня. Результаты изобразить графически, построив эпюры N, σ, δ.
Решение:
Для определения N мысленно разрезаем брус по сечениям I – I и II – II (рис. 2.5). По условиям равновесия части стрежня ниже сечения I – I получим
N1 = F1 = 10 кН (растяжение).
Из условия равновесия части стержня ниже сечения II – II получим
– N2 + F2 – F1 = 0 или N2 = 30 кН (сжатие)
Выбрав масштаб, строим эпюру продольных сил N. При этом растягивающую продольную силу N1, считаем положительной, сжимающую N2 отрицательной.
Напряжения равны: в сечениях нижней части стержня
МПа, (растяжение)
в сечениях верхней части стержня
МПа (сжатие).
Рис. 2.5. К примеру 2.3
В определенном масштабе строим эпюру напряжений.
Для построения эпюры δ определяем перемещения характерных сечений В – В и С – С (перемещение сечения А – А равно нулю).
Сечение В – В будет перемещаться вверх, поскольку верхняя часть стержня сжимается: 
м = 0,075 см (вверх).
Перемещение сечения вниз считаем положительным, вверх – отрицательным.
Перемещение сечения С – С является алгебраической суммой перемещения сечения В – В (δВ) и удлинения части стержня длиной l1
где 
- для бруса имеющего постоянное поперечное сечение и продольная сила во всех сечениях одинакова. Тогда 
м = -0,075см (вниз)
В определенном масштабе откладываем на эпюре значения δС и δВ, соединяем полученные точки прямыми линиями, так как при действии сосредоточенных внешних сил перемещения линейно зависят от абсцисс сечений стержня, и получаем график (эпюру) перемещений. Из графика видно, что некоторое сечение D – D не перемещается. Сечения, расположенные выше сечения D – D, перемещаются вверх; сечения, расположенные ниже, перемещаются вниз.
Пример 2.4. Для заданного вала сплошного сечения (рис. 2.6, а) построить эпюру N в долях P, а эпюру σ в долях P/d2. Исходные данные: P1 = P, P2 = 5P, P3 = 4P, P4 = - 10P, l1 = l, l2 = l, l3=1,5l, l4 = 2l, D1 = d, D2 = 1,5d, D3 = d, q1 = q, q2 = q, q3 = 0. При расчете примем: q = 2 кН/м, l = 50 м, P = 0,5ql =50 кН, Е = 2,1∙105 МПа, 
= 300 МПа, 
Решение.
Начинаем с определения опорной реакции RА в заделке, предварительно направив продольную ось бруса Z слева направо (рис. 2.6, а):
, 
при P = 0,5ql получим 
Для определения нормальной силы на каждом участке бруса воспользуемся методом сечений. На первом участке продольная координата 
. Покажем отдельно отсеченную часть бруса с действующими на нее внешними силами (включая и реакцию заделки).
Направим нормальную силу N в сторону от сечения. По формуле (2.1):
Продольная сила линейно связана с координатой 
. Для построения эпюры 
найдем значения нормальной силы на границах участка, а именно
при 
Закон изменения напряжения на этом участке, используя (2.2), запишем
Напряжение, как и нормальная сила, является линейной функцией продольной координаты и на границах участка принимает значения
при 
Рассмотрим второй участок, для которого 
Рис. 2.6. К примеру 2.3
Для нормальной силы и напряжения на этом участке можно записать
На III участке выражение для нормальной силы и напряжения бруса составит
при 
Напряжение на этом участке изменяется по линейному закону
а на границах участка принимает значения
при 
На IV участке выражение для нормальной силы и напряжения бруса будет
Используя выражения для нормальной силы и напряжения на каждом участке бруса, строим их эпюры (рис. 2.6, б, в).
Для определения размеров поперечного сечения необходимо найти опасное сечение, то, где действует максимальная величина напряжения.
Опасным будет сечение, где действует
Условие прочности запишется 
из него определим диаметр
Тогда площади поперечных сечений на соответствующих участках бруса будут равны:
Перемещение сечения, расположенного на первом участке на расстоянии z1 от заделки, будет равно удлинению участка, расположенного между заделкой и этим сечением, то есть
.
Так как продольная координата , то перемещение сечения при
z1 = 0 δ1 = 0
z1 = l 
На остальных участках выражения для перемещений запишутся следующим образом.
Участок II.
Здесь первое слагаемое равно перемещению сечения B, а второе - перемещению сечения 2 относительно сечения B. Вычислив интеграл, получим
При z2 = l 
Участок III.
После подстановки выражения нормальной силы N и интегрирования имеем
На границах участка при
z3 = 0 
z3 = 1,5l 
На последнем участке выражение для перемещения будет иметь вид
При z4 = 0 
z4 =2l 
Используя полученные выражения, строим эпюру перемещений, показанную на рис. 2.6, г.
Наиболее нагруженным является сечение вблизи заделки бруса, где нормальное напряжение достигает максимальной величины. Для повышения коэффициента запаса прочности необходимо либо увеличивать размеры поперечного сечения первого участка, либо выбирать материал бруса с более высоким значением предела текучести . Как следует из построенной эпюры перемещений, наибольшие удлинения брус испытывает на последнем участке.
§ 2.4. ВАРИАНТЫ ЗАДАЧИ “A”
Поиск по сайту: