 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Математическое дополнение, формулы Грина
Теорема Остроградского-Гаусса имеет вид 
, где функция 
непрерывна и конечна в рассматриваемом объёме V, охватываемом поверхностью S. Нормаль 
направлена наружу от объёма V. Возьмем
Аналогично для 
получим
Разность (4.4) и (4. 
) дает
(4.4) и (4.5) будем называть первой и второй формулами Грина. Эти формулы справедливы в той области, где функции u и 
непрерывны и конечны вместе со своими первыми производными.
4. 
Решение трехмерных уравнений Пуассона и Лапласа в общем случае.
Возьмем уравнения Пуассона и Лапласа для полевой функции u(x,y,z).
,
.
Уравнение Пуассона имеет 
, создающими соответствующее поле.
Его решение в произвольном объёме V, включающем в себя 
,будем искать с помощью формулы Грина (4.5).
В этой формуле в качестве u(x, y, z) возьмем полевую функцию, удовлетворяющую уравнению Пуассона на . Возьмем в качестве 
, где R- расстояние между, любой точкой источника и любой точкой объёма V. При совпадении точки наблюдения с точкой истока R=0 и условия применимости формулы Грина нарушится. Окружим точку наблюдения сферой 
радиуса 
и выбросим область внутри сферы из рассмотрения. Тогда для области 
формула Грина дает
Сведем выброшенный объем к точке 
.
Из (4. 
имеет решение 
в частном случае 
Учитывая, 
=f имеем 
, где
Здесь использована теорема о среднем 
Учитывая, что 
совпадает с искомой функцией, находим
(4.6) – общее решение уравнения Пуассона.
Для уравнения Лапласа при f=0
4. 
Общее решение уравнения Лапласа при наличии разрыва производной искомой функции.
Будем считать, что искомая функция удовлетворяет уравнению Лапласа в объёме V, где есть поверхность 
, на которой производная претерпевает скачок
Выбросим из рассмотрения точки , которые будем считать точками истока. В формуле Грина (4.5) выберем u,как полевую функцию удовлетворяющую уравнению 
Выбросим из рассмотрения 
, 
Получаем
Устремляем 
.
где 
был вычислен в 4. 
.
Подсчитаем 
Поскольку 
на 
и 
получаем
Окончательный ответ имеет вид
При отсутствии разрыва производной функции u(x, y, z) внутри V (4.7) переходит в (4. 
).
4. 
Общее решение уравнения Пуассона в двумерном случае.
Поиск по сайту: