 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Три типа дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных
Тема 1. Классификация дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных.
Для упрощения записей ограничимся случаем двух переменных.
Пусть 
- искомая функция. Ограничиваясь случаем производных, не выше второй степени будем считать заданным некий функционал
,
где 
; 
; 
; 
; 
.
1.1 Линейное дифференциальное уравнение второго порядка
в частных производных.
Введем более простое уравнение:
(1.1)
Оно линейно по старшим производным, если коэффициенты 
зависят только от (
) и не зависят от 
.
Введем уравнение
(1.2)
Если 
– зависят только от (), то уравнение (1.2) линейно.
Если 
const, то уравнение называется линейным дифференциальным уравнением (ДУ) с постоянными коэффициентами.
Если 
, то (1.2) – линейное однородное уравнение. Нашей дальнейшей целью является упрощение формы ДУ путем подбора других систем координат.
, где 
Новые координаты выбираются так, чтобы соответствующий определитель
.
Лемма 1. При переходе к новой системе координат линейное уравнение остается линейным. Нужно доказать, что (1.1) перейдет в некоторое линейное уравнение:
(1.1’)
Докажем, что 
зависят только от 
. Подсчитаем производные в (1.1) через новые переменные.
,
,
,
,
.
Чтобы построить уравнение (1.1’), нужно сгруппировать члены с одинаковыми производными. Получаем
,
, (1.3)
,(1.3)
Видим, что входят в уравнение (1.1’) и зависят только от .
Ч. т. д.
Аналогично можно показать, что линейное уравнение (1.2) также переходит в линейное.
Три типа дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных
Для уравнений (1.1),(1.1’) введем некоторую величину, называемую дискриминантом
Для уравнения (1.1) 
, (1.4)
Для уравнения (1.1’) 
. (1.4’)
Лемма 2. При смене системы координат знак 
не меняется, если определитель преобразования 
не обращается в ноль:
.
Доказательство. Представим:
.
Считаем коэффициенты:
,
,
,
,
,
.
Соединим результаты:
Определитель не равен нулю, т.е. знак 
не меняется.
Ч.т.д.
Если в какой-то области дискриминант имел определенный знак, то он сохранит тот же знак в области, полученной из данной преобразованием координат,при 
.
Будем называть уравнения в той области, где
– гиперболическими,
– параболическими,
– эллиптическими.
Рассмотрим условия, когда 
обращаются в ноль.
Поиск по сайту: