АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Три типа дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных

Читайте также:
  1. Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона в оценке качества уравнений, построенных по временным рядам.
  2. В настоящее время от травм и несчастных случаев умирает во много раз больше детей, чем от детских инфекционных заболеваний.
  3. В области охраны общественного порядка,
  4. ВАЖНЕЙШИЕ ВИДЫ ЧАСТНЫХ ДЕЛИКТОВ
  5. Виды частных деликтов.
  6. Возмещение ущерба в порядке обязательного социального страхования от несчастных случаев на производстве и профессиональных заболеваний
  7. Вопрос – 162 Административно-правовая охрана общественного порядка и общественной безопасности.
  8. Вопрос. Конституционные основы порядка принятия в РФ и образования в ее составе нового субъекта Федерации.
  9. Вычисление площади с помощью криволинейного интеграла второго рода.
  10. Глава II. Решение системы линейных уравнений с использованием компьютерных приложений
  11. Дайте юридический анализ вышеназванных правовых актов с точки зрения: а) формы: б) компетенции; в) порядка издания.
  12. Действия при нарушениях общественного порядка в аэропорту

Тема 1. Классификация дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных.

Для упрощения записей ограничимся случаем двух переменных.

Пусть - искомая функция. Ограничиваясь случаем производных, не выше второй степени будем считать заданным некий функционал

,

где ; ; ; ; .

 

1.1 Линейное дифференциальное уравнение второго порядка

в частных производных.

Введем более простое уравнение:

(1.1)

Оно линейно по старшим производным, если коэффициенты

зависят только от () и не зависят от .

Введем уравнение

(1.2)

Если – зависят только от (), то уравнение (1.2) линейно.

Если const, то уравнение называется линейным дифференциальным уравнением (ДУ) с постоянными коэффициентами.

Если , то (1.2) – линейное однородное уравнение. Нашей дальнейшей целью является упрощение формы ДУ путем подбора других систем координат.

, где

Новые координаты выбираются так, чтобы соответствующий определитель

.

Лемма 1. При переходе к новой системе координат линейное уравнение остается линейным. Нужно доказать, что (1.1) перейдет в некоторое линейное уравнение:

(1.1’)

Докажем, что зависят только от . Подсчитаем производные в (1.1) через новые переменные.

,

,

,

,

.

Чтобы построить уравнение (1.1’), нужно сгруппировать члены с одинаковыми производными. Получаем

,

, (1.3)

,(1.3)

Видим, что входят в уравнение (1.1’) и зависят только от .

Ч. т. д.

Аналогично можно показать, что линейное уравнение (1.2) также переходит в линейное.

Три типа дифференциальных уравнений второго порядка в частных производных

Для уравнений (1.1),(1.1’) введем некоторую величину, называемую дискриминантом

Для уравнения (1.1) , (1.4)

Для уравнения (1.1’) . (1.4’)

Лемма 2. При смене системы координат знак не меняется, если определитель преобразования не обращается в ноль:

.

Доказательство. Представим:

.

Считаем коэффициенты:

,

,

,

,

,

.

Соединим результаты:

Определитель не равен нулю, т.е. знак не меняется.

Ч.т.д.

Если в какой-то области дискриминант имел определенный знак, то он сохранит тот же знак в области, полученной из данной преобразованием координат,при .

Будем называть уравнения в той области, где

– гиперболическими,

– параболическими,

– эллиптическими.

Рассмотрим условия, когда обращаются в ноль.


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)