Тема IV.Краевые задачи эллиптического типа

4. Физические процессы, порождающие уравнения эллиптического типа.

Уравнения эллиптического типа возникают в физике при описании состояний не меняющихся с течением времени.

1) Гиперболические и параболические уравнения в статическом пределе.

При описании электромагнитного поля (2. ) возникают уравнения

,

где u(x,y,z,t) задает распределение поля в пространстве, создаваемого его источниками f(x,y,z,t).

В статическом пределе ( получаем . (4.1)

В тех областях, где источники отсутствуют (4. ). При описании процесса теплопроводности получаем уравнение ,(3.1) где u(x,y,z,t) задает распределение температуры по объёму, f(x,y,z,t) определяет вклад от источников тепла. Вне этих источников .

Уравнения (4.1) называется уравнениями Пуассона, (4. ) называется уравнениями Лапласа, называют лапласианом.

2) Электростатическое поле.

Это поле определяется векторами напряженности () и индукции (). Для них существует система уравнений

Известно, что для любого скаляра .

Положим

Для =const получаем уравнения

называют скалярным потенциалом.

3) Стационарное магнитное поле.

Это поле определяется векторами напряженности () и индукции (). Для них существует система уравнений

Известно, что для любого вектора Положим , что дает

.

Для , положим и получим.

называют векторным потенциалом.

Для постановки краевых задач уравнения Пуассона (4.1) и Лапласа (4. ) следует дополнить краевыми условиями, которые задают поведение функции или её нормальной производной на границе S:

а)

б)

В дальнейшем нам потребуются выражения для в различных координатных системах.

В сферических координатах

В цилиндрических координатах

В прямоугольных координатах x,y,z:

4. Решение одномерных уравнений Пуассона и Лапласа.

Рассмотрим случаи, когда функция u зависит от одной переменной.

а) Сферическая симметрия.

Пусть u= u(r), f=f(r), тогда

(4.1)

Умножаем на и получаем после интегрирования .

Умножаем и после интегрирования получаем:

– общее решение уравнения Пуассона.

При f=const, .

При f=0, - общее решение уравнения Лапласа.

б) Цилиндрическая симметрия.

Пусть

(4.1) .

Умножаем на и после интегрирования получаем .

Умножаем на и после интегрирования получаем:

- общее решение уравнения Пуассона.

При f=const, .

При f=0, - общее решение уравнения Лапласа.

в) прямоугольная симметрия.

Пусть u=u(x), f=f(x), тогда

(4.1) .

Умножаем на dx и после интегрирования получаем .

Умножаем на dx и после интегрирования получаем:

– общее решение уравнения Пуассона.

При f=const,

При f=0, - общее решение уравнения Лапласа.

4. Решение двумерных уравнений Лапласа методом разделенных переменных.

Пусть u=u(x, y), f=f(x, y).

Перейдем к полярным координатам , (см. 4. .

Считая границей окружность радиуса r построим краевую задачу:

(4.2)

Пусть

. Разделим на :

, где , так как независимые переменные.

Уравнение имеет общее решение .

Условие периодичности функции

дает Поучаем

Ищем частные решения уравнения

Будем искать решение в виде

Выберем

В зависимости от области определения решения имеем

Общее решение краевой задачи представим в виде ряда

Краевые условия дают где

Для внутренней области введем обозначения

Для внешней области

Общее решение запишем следующим образом

Обозначим

В общем виде получаем

Для того чтобы (4.3) было общим решением (4.2) необходимо, чтобы равномерно сходились ряды .

Будем считать, что не обращается в бесконечность . Тогда введем мажорантные ряды.

Следовательно, ряды равномерно сходятся и (4.3) является общим решением поставленной краевой задачи.

Поиск по сайту: