Тема 3. КРАЕВЫЕ ЗАДАЧИ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА

3.1^O Уравнение теплопроводности

Рассмотрим ограниченный объем V, в котором идет процесс выделения тепла. В нем существует процесс теплопередачи и есть источник тепла .

Пусть q – удельная тепловая мощность:

Количество теплоты, выделившееся в объеме за время Δt будет равно:

Так как только на , то область интегрирования можно расширить до объема V. Пусть – плотность тела, c – удельная теплоемкость.

Тогда количество теплоты, идущее на нагрев V:

где – перепад температуры.

Введем функцию – температура в точке в момент времени t. Тогда:

Если температура тела неравномерна, то в нем возникают тепловые потоки, направленные из мест с более высокой температурой в места с более низкой. Из закона теплопроводности Фурье:

– количество теплоты, перетекающее через элемент поверхности dS за время ,

где – нормаль к поверхности S, k – коэффициент теплопроводности.

Используем теорему Гаусса-Остроградского:

Уравнение теплового баланса дает

Объем V был выбран произвольно. Следовательно, равенство интегралов равносильно равенству подынтегральных выражений.

При , получаем

Если k=const, то

(3.1) – уравнение теплопроводности. Где .

(3.1) – дифференциальное уравнение параболического типа. В одномерном случае u=u(x,t). Тогда (3.1) принимается вид:

(3.1’)

Само дифференциальное уравнение неоднородно. Если , то в системе есть подкачка тепла извне, а если , то подкачки нет, и в системе осуществляется охлаждение.

Построим простейшие краевые задачи.

1. Охлаждение бесконечного стержня:

2. Охлаждение полубесконечного стержня, левый конец стержня поддерживается при нулевой температуре:

3. Полубесконечный стержень, через левый край которого нет теплопередачи:

,

4. Краевая задача для конечного стержня, оба конца которого поддерживаются при нулевой температуре:

5. Наиболее общая краевая задача имеет вид:

3.2^O Охлаждение бесконечного стержня. Формула Пуассона.

Решение задачи (3.2) имеет вид (3.3):

Теорема:

Функция (3.3) является решением краевой задачи (3.2), если непрерывна и ограничена в указанной области и удовлетворяет условию Липшица:

при , .

Доказательство:

1) Докажем, что (3.3) удовлетворяет дифференциальному уравнению

Что и требовалось доказать.

2) Докажем выполнение начальных условий:

, при .

Условие Липшица: при .

Используем интеграл вероятности: , где .

Применяем условие Липшица:

так как , . Этот интеграл сходится при .

Значит при , т.е. начальные условия выполняются.

3.3^O Охлаждение полубесконечного стержня и стержня ограниченных размеров.

Краевая задача для полубесконечного стержня:

(3.4 a)

Левый край стержня поддерживается при нулевой температуре.

Введем вместо новую функцию .

При таком продолжении задача (3.4а) сводится к (3.2), решение которой имеет вид формулы Пуассона:

В предыдущем пункте было показано, что данная функция удовлетворяет дифференциальному уравнению и начальным условиям: . Нужно доказать, что выполняется краевое условие.

Во втором интеграле заменим y на –y:

При эти два интеграла совпадают, т.е. . Что и требовалось доказать.

Теперь рассмотрим тот же стержень при условии отсутствия теплопередачи через левый край:

(3.4 б)

Введем новую функцию такую, что:

Задача (3.4б) сводится к задаче (3.2) и имеет решение (3.3):

Проверим выполнимость краевого условия:

Во втором интеграле заменим y на –y:

При это выражение равно 0, т.е. . Что и требовалось доказать.

Рассмотрим охлаждение стержня ограниченных размеров, оба конца которого имеют нулевую температуру.

(3.5)

Продолжим начальное условие нечетным образом влево и вправо с периодом 2l.

и т.д.

Тогда задача (3.5) сводится к (3.2) и дает решение в виде формулы Пуассона:

Уже было показано, что эта функция удовлетворяет уравнению теплопроводности и начальному условию при выполнении условия Липшица.

Проверим выполнение краевого условия . Для этого разобьем интеграл на два:

Введем новую переменную z=y-l

Заменим z на –z во втором интеграле.

Если x=l, то

Что и требовалось доказать.

3. . Решение неоднородной краевой задачи теплопроводности.

Задача для бесконечного стержня с подкачкой в него энергии будет иметь вид:

(3.6)

В данной задаче подкачку энергии определяет .

Представим решение в виде суммы слагаемых (метод редукции):

, и для каждого слагаемого составим свои задачи (3.6a) и (3.6б).

(3.6a)

(3.6б)

Задача (3.6a) это задача (3.2), то есть ранее уже решенная. Её решение представляется формулой Пуассона:

.

Будем искать решение задачи (3.6б) в виде:

.

Лемма:

– удовлетворяет (3.6б), если удовлетворяет (3.6в):

(3.6в)

Доказательство:

Найдем и :

.

.

Можно увидеть, что

, т.е. .

Лемма доказана.

Найдем решение (3.6в).

Введем новую переменную , и функцию , тогда (3.6в) примет вид:

Это задача является задачей (3.2) с заменами Её решение имеет вид (3.3):

.

Поскольку ,

.

В конечном итоге получаем решение:

. (3.7)

При , подкачки энергии нет, решение (3.7) принимает вид решения (3.3).

3. . Решение однородной краевой задачи теплопроводности методом разделения переменных.

Вернемся к задаче охлаждения стержня ограниченных размеров.

(3.5)

Оба края стержня находятся при фиксированной нулевой температуре.

Представим искомую функцию, в виде:

и подставим в дифференциальное уравнение.

,

.

Левая часть зависит только от , а правая только от . Такое возможно, только если обе части одна и та же константа. Если эта константа , то решение для есть, если , то решения нет. Это было доказано в теме 2.

.

Получаем для функций и :

,

.

Построим краевые задачи для этих функций.

Для :

(3.5а)

Найдем решение этой задачи:

,

,

.

Если , то решение будет нулевое, которое нас не интересует, значит:

Получаем дискретный набор (собственных значений):

, ему соответствует дискретный набор собственных функций:

, где - произвольная константа.

Пользуясь произвольностью выбора , положим что , в таком случае получаем:

.

Для T:

.

(3.5б)

Решение дифференциального уравнения и имеет вид:

.

Найдем из начальных условий:

Пусть , где .

Тогда 2-е уравнение системы дает нам:

,

.

.

Нашли частное решение в виде:

.

Чтобы найти общее решение построим бесконечный ряд:

, где (3.8)

Чтобы ряд был общим решением задачи (3.5) надо чтобы ряды для , , равномерно сходились.

,

.

Чтобы ряды равномерно сходились, надо чтобы сходились мажорантные ряды:

,

,

Будем считать, что , где есть температура ограничена сверху:

.

Нас интересуют ряды: и

Проверим их сходимость.

Условие сходимости: .

Применим его для наших рядов:

, возьмем , и рассмотрим отношение:

.

Мы доказали сходимость мажорантных рядов, значит равномерно сходятся ряды для , , , а значит (3.8) является общим решением задачи (3.5).

, где . (3.8)

3. . Решение неоднородной краевой задачи теплопроводности методом разделения переменных.

Задача на подогрев стержня ограниченных размеров имеет вид:

(3.9)

Представим решение в виде суммы решений (метод редукции):

, и для каждого решения составим свои задачи (3.9a) и (3.9б).

(3.9a)

(3.9б)

Задача (3.9a) ранее уже решена. Её решением является:

. (3.8)

Будем искать решение задачи (3.9б).

Представим:

, чтобы сразу удовлетворить краевым условиям.

, где

. После подстановки получим:

.

Приравниваем коэффициенты при одинаковых гармониках и получаем дифференциальное уравнение:

Решение будем искать в виде:

.

Лемма:

- удовлетворяет (3.9в) если - удовлетворяет (3.9г).

(3.9г)

Доказательство:

Складываем оба уравнения системы, и получим:

.

Лемма доказана.

Осталось найти решение (3.9г).

Введем переменную . . Получаем измененное условие задачи (3.9г):

, .

Подставим в , получаем:

,

,

. (3.10)

При , (3.10) сводится к (3.8).

3. . Связь формулы Пуассона с решением методом разделения переменныx.

Вспомним задачу (3.2), для охлаждения бесконечного стержня:

(3.2)

Её решение имеет вид:

- формула Пуассона. (3.3)

Решим задачу (3.2) методом разделения переменных. Представим

,

,

. Для находим:

,

.

Выберем , чтобы убрать произведения констант, в дальнейшем.

Для собственных значений спектр непрерывный.

Для Т:

Чтобы взять общее решение надо проинтегрировать частные решения, потому что спектр непрерывен:

,

.

Возьмем начальные условия:

– интеграл Фурье. Существует обратное преобразование Фурье:

.

Получим решение:

(3.11)

Покажем, что решение (3.11) эквивалентно решению (3.3).

Обозначим .

Вычислим интеграл:

Воспользуемся интегралом вероятности: .

.

Замена: , даст:

.

.

Следовательно, оба метода дают нам одинаковые решения.

3. Теорема об экстремуме и её следствия.

На фазовой поверхности рассмотрим область которую будем считать состоящей из внутренности и незамкнутой границы

.

Теорема: если функция - определена и непрерывна в области и удовлетворяет уравнению теплопроводности на , то экстремальное значение решения существует только на границе .

Доказательство: обозначим максимальное значение функции на границе : . Исходя из противного, предположим, что в точке - функция имеет максимум:

. Следовательно, в этой точке выполняются условия максимума для функции 2 - х переменных: , , .

Отсутствие противоречия возникает только при .

Введем вспомогательную функцию: , где k - константа.

Получаем: . Определим значение функции на границе области. Легко видеть, что . Если взять , то . Значит для функции максимум достигается внутри области . Предположим, что он реализуется в точке , где должно выполнятся условие:

, , .

Получаем: , .

Видим, что равенство нарушается. Следовательно максимум решения существует только на границе . Для доказательства отсутствия минимума решения внутри следует рассматривать .

Теорема доказана.

Следствие 1.

Доказательство.

Введем функцию Для этой функции тоже справедлива теорема об экстремуме. Поскольку , т.е. .

Следствие 2.

Если удовлетворяют условию применимости теоремы об экстремуме и на границе выполняется , то это неравенство выполняется во всех точках области .

Доказательство.

Введем функции , . Для этих функций может быть применена теорема об экстремуме, следовательно, знак функций и внутри области изменятся не может и .

Следствие 3.

Если и удовлетворяет условию применимости теоремы об экстремуме на границе , то внутри области .

Доказательство.

Постоянная удовлетворяет теореме об экстремуме. Введем , , и доказательство сводится к предыдущему.

3. . Существование, единственность и корректность решений краевых задач теплопроводности.

Существование решений различных краевых задач теплопроводности было доказано в рамках данной темы 3.

1. Докажем единственность решения общей краевой задачи.

Доказательство от противного.

Предположим, что есть 2 разных решения этой краевой задачи, и .

Построим . Построим краевую задачу для каждой функции, и получаем:

Решение этой краевой задачи в соответствии с теоремой об экстремуме является нулевым. Значит:

.

2. Вернемся к задаче на охлаждение бесконечного стержня.

(3.2)

При доказательстве будем считать во всей области определения решения.

Исходя от противного предположим, что есть два разных решения и . Получаем ограничение для функции .

Временно ограничим координату и введем функцию , которая удовлетворяет уравнению теплопроводности.

Поскольку , , получаем и на основе следствия из теоремы об экстремуме .

. Устремляем и получаем

- . Следовательно, .

3. Краевую задачу будем называть корректной, если малому изменению начальных или краевых условий соответствует малое изменение её решения. Рассмотрим 2 краевые задачи, отличающиеся малым изменением начальных и краевых условий.

Построим функцию , для которой получим:

Где в качестве выбрано наибольшее из , , . Видим, что на границе области . В соответствии со следствием 3 получаем во всей области определения решения. Следовательно мало отличается от .

Поиск по сайту: