 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
К каноническому виду
1) Рассмотрим уравнения гиперболического типа 
для (1.1).
Сведем его с помощью замены переменных к
.
Так как 
, выбираем 
, где 
– общий интеграл (1.6).
Тогда
Аналогично
, тогда
Получаем канонический вид гиперболического уравнения
, где 
. (1.7)
Введем еще одну замену:
; 
;
; 
.
Посчитаем производные:
, 
; 
;
, 
; 
.
В итоге получаем
, где 
. (1.7’)
2) Уравнения параболического типа (
).
Поскольку 
, 
.
Характеристическое уравнение имеет одно решение
.
Пусть 
. Выберем новую переменную 
, что позволяет обратить коэффициент 
в 0. Вторую переменную берем произвольным образом
.
Подсчитаем 
.
, поскольку 
, 
;
. В результате получаем
. (1.8)
Это каноническая форма уравнения параболического типа.
3) 
Эллиптические уравнения 
).
В этом случае имеем
, 
, - комплексные общие интегралы. Представим
(1.1’’)
После замены переменных получаем
,
где
.
Совершим еще одну замену переменных
.
.
При второй замене переменных (1.3) переходят в (1.3’)
;
; (1.3’)
.
В итоге получаем 
; 
.
Каноническая форма эллиптического ДУ имеет вид
, (1.9)
где 
.
Каноническая форма для уравнений гиперболического вида принимает вид (1.7) или (1.7’), для уравнений параболического типа – (1.8), для уравнений эллиптического вида – (1.9).
В этих формулах 
- всевозможные комбинации из 
.
Каноническая форма дифференциальных уравнений второго порядка с постоянными коэффициентами.
Рассмотрим уравнение (1.2), в котором 
являются постоянными величинами, и сведем его к канонической форме.
(1.2) 
, где
Используем замену
, ; .
Получим канонические формы следующего типа:
,
,
.
Существует преобразование, позволяющее упростить эти уравнения.
Введем функцию 
.
Константы 
и 
подбираются так, чтобы коэффициенты при первых производных обращались в ноль
,
,
1 
,
-1 
.
После подстановки этих производных в (1.7’) получаем
,
где 
.
Возьмем 
; 
, в результате получаем
В результате получаем
. (1.10)
Аналогично, для (1.8) и (1.9) получаем
, (1.11)
(1.12)
где все 
и все 
постоянные величины.
Получили каноническую форму ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Поиск по сайту: