Решение неоднородной краевой задачи методом разделения переменных

Рассмотрим краевую задачу для вынужденных колебаний струны ограниченных размеров.

Представим

Для начальных условий в силу их нечетности будем считать

Исходное дифференциальное уравнение запишется в виде равенства рядов:

Получаем , где - вторая производная по времени.

Используя начальные условия, получаем

Для коэффициентов Un(t) получаем краевую задачу

.

Тогда для получаются задачи

где

Решение (2.15a) будем искать в виде

Используя начальные условия

получаем, что

Тогда

Используем известную в теории обыкновенных дифференциальных уравнений связь между решением неоднородной задачи и решением однородной задачи

Представим в виде

Следовательно, для возникает задача

Легко видеть, что (2.17) совпадает с (2.15а) при Тогда из решения (2.15а)

Поскольку

Окончательный результат запишем в виде

Очевидно, что при решение (2.18) переходит в (2.12).

Формула Римана для вынужденных колебаний бесконечной струны

В этом случае краевая задача имеет вид:

где – начальный профиль, а – начальное распределение скоростей для точек струны.

Для дальнейшего потребуется видоизменить теорему Стокса, согласно которой:

Пусть вектор имеет только две компоненты: . В прямоугольных координатах:

Тогда

Сделаем замену: y→t, .

В результате получаем:

Пусть фазовая плоскость – это плоскость аргументов x,t. Рассмотрим треугольник AMB (Рис. 17).

Тогда:

Сторона BM: на этом участке .

Сторона MA: на этом участке .

Сторона AB: на ней t=0 =>

В результате получаем:

Отсюда:

Эта формула называется формулой Римана.

Если учесть, что

То (2.19) принимает вид:

Здесь – добавка, связанная с вынужденностью колебаний. Т.е. при f=0 получаем (2.6) – формулу Даламбера. Формула (2.19) является решением интегрального уравнения для бесконечной струны и представляет собой обобщение формулы Даламбера (2.6).

Поиск по сайту: