Тема 5. Специальные функции

5.1⁰ Гармонические колебания круглой мембраны.

Дифференциальное уравнение для этого процесса уже встречалось ранее:

, (2.4)

где – скорость распространения колебаний. Для плоской мембраны:

, .

Для установившихся колебаний получаем:

,

где называется волновым вектором.

Перейдём к полярным координатам (см. 4.3⁰):

, (5.1)

,

_.

представим

.

Получаем , где из-за периодичности находим

.

Введём и получим

. (5.2)

Будем искать решение в виде ряда .

Получаем два варианта и . От второго варианта откажемся, так как при . Для коэффициентов получаем

,

,

и т.д.

Получаем

,

.

Для упрощения вводят

,

Где Г(s) – известная гамма-функция.

По определению

,

,

,

,

.

Тогда

.

В итоге

(5.3)

Полученные выражения представляют собой разновидность цилиндрических функций (функций Бесселя).

5.2⁰ Функции Бесселя

Обобщим уравнение (5.2)

,

где 𝜈 – любое число. Тогда вместо (5.3) получим

,

.

Приведём некоторые варианты этих функций:

,

,

Функции и линейно зависимы, так как

.

Докажем это.

.

Пропадают слагаемые, в которых есть гамма-функция от отрицательных чисел и нуля. Сделаем замену :

.

Для нецелых общее решение (5.2) имеет вид . С учётом ограниченность решения в точке второе решение следует отбросить.

5.3⁰ Рекуррентные формулы для функций Бесселя.

(1), (2)

Докажем первое соотношение прямой подстановкой:

Сделаем замену

.

Частные случаи рекуррентных формул:

, .

(1) (1’)

(2’)

Отсюда

(5.4)

;

,

Дополнение

- функция Неймана.

, - функции Ханкеля.

5.4⁰ Интегральные представления цилиндрических функций.

Вернёмся к уравнению гармонических колебаний мембраны

, где

Представим , тогда

.

Это уравнение имеет частные решения

.

Выявим физический смысл этих решений на примере

Возьмём две точки:

Первая точка:

Вторая точка:

Значения функции в этих точках совпадают. Поскольку вторая точка отстоит от первой на и , можно считать, что это решение описывает плоскую волну, распространяющуюся в положительном направлении оси X со скоростью .

Возьмём волну, идущую в положительном направлении оси X и перейдём к полярным координатам .

Представим как разложение в ряд Фурье:

. Докажем, что

Дифференцирование по частям даёт

то есть

Чтобы найти перейдём к

Из (5.3) получаем при

.

С другой стороны при

.

В итоге при

Следовательно

(5.5)

5.5⁰ Гармонические колебания сферы.

Ранее (2.4)⁰ для электромагнитных волн в пространстве были получены уравнения

скорость волны.

Будем считать колебания установившимися, то есть

циклическая частота колебаний.

Получаем

, .

Перейдём к сферическим координатам .

.

Уравнение

будем решать методом разделения переменных

.

Для радиальной части искомой функции уравнение

называется уравнением Эйлера.

Функции , для которых , (5.6)

,

,

,

называются сферическими или шаровыми.

Представим .

.

имеет решения

Условие периодичности даёт

5.6⁰ Сферические функции.

Имеем , где удовлетворяет

Введём обозначение и получим

(5.7)

Решение уравнения имеет особенности в точках Введём новую переменную .

.

Ищем решение в виде ряда

После подстановок для наименьшей степени имеем

(

Такое же значение получается для разложения вблизи особой точки Чтобы решение оставалось конечным при , будем брать

Можем представить .

Сравнивая коэффициенты при одинаковых степенях t, получаем рекуррентную формулу

.

Предположим, что ряд обрывается при некотором значении ,что происходит лишь при случае

Т.е. Обозначим и получим спектр собственных значений , где .

Переобозначим

является решением уравнения (5.7) при и называется полиномом Лежандра. Рекуррентное соотношение упрощается

.

Можно получить (5.8)

и .

Сферические функции представим в виде

(5.9)

Здесь - нормированный множитель, обеспечивающий полную ортогональную систему функций на поверхности шара.

5.7 Полиномы Лежандра.

Полиномы Лежандра оказываются связанными с фундаментальным решением уравнения Лапласа (см 4.4 ⁰ ), где

.

Функцию называют производящей для полиномов Лежандра, поскольку

Легко видеть

,

,

, что даёт возможность получить рекуррентную формулу

.

Покажем, что можно представить как

.

Обозначим .

Видим, что ,

.

Дифференцируем последнее соотношение (m+1) раз:

.

Полагаем n=m и получаем:

Следовательно, функция удовлетворяет уравнению Лежандра

(5.10)

Присоединёнными функциями Лежандра будем называть

.

Покажем, что эти функции удовлетворяют уравнению

(5.7)

Введём функцию Получим

,

дифференцируем (5.10) m раз по t и приходим к

Следовательно, удовлетворяет уравнению (5.7).

5.8⁰ Полиномы Чебышева-Эрмита и Чебышева - Лагерра.

Задача о линейном гармоническом осцилляторе приводит к уравнению

которое можно записать в виде

(5.11)

Решения (5.11) определяются на прямой , причём при решение стремится к бесконечности как конечная степень .

Введём производящую функцию . Тогда , что даёт для коэффициентов разложения ,

что приводит к уравнению

и

В результате при t=0:

.

Прямые вычисления дают

Полиномы Чебышева - Лагерра определяются как решения уравнения

(5.12)

эквивалентное

(5.12’)

Будем искать решение в виде ряда

после подстановки в (5.12) получаем

В результате .

Выберем так, чтобы коэффициент при старшей степени x равнялся и .

Обозначим решения и назовём их полиномами Чебышева - Лагерра.

В частных случаях

Полиномы Чебышева - Лагерра имеют производящую функцию

.

Вопросы ортогональности и нормировки в рамках данного изложения рассматриваться не будут.

Поиск по сайту: