АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Характеристические уравнения для дифференциальных уравнений второго порядка

Читайте также:
  1. Абсолютные и относительные показатели силы связи в уравнениях парной регрессии.
  2. Автокорреляция в остатках. Критерий Дарбина-Уотсона в оценке качества уравнений, построенных по временным рядам.
  3. В области охраны общественного порядка,
  4. Вопрос – 162 Административно-правовая охрана общественного порядка и общественной безопасности.
  5. Вопрос. Конституционные основы порядка принятия в РФ и образования в ее составе нового субъекта Федерации.
  6. Выбор уравнения регрессии
  7. Выбор формы уравнения множественной регрессии
  8. Вывод основного уравнения гидростатики.
  9. Вычисление площади с помощью криволинейного интеграла второго рода.
  10. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли
  11. Геометрическая интерпретация уравнения Бернулли.
  12. Гетероскедастичность в уравнениях множественной регрессии, ее признаки и последствия.

Новые координаты приводят к изменению коэффициентов

,

.

Лемма 3. Если является частным решением уравнения

, (1.5)

то , где c = const является общим интегралом уравнения:

. (1.6)

Доказательство. Будем считать, что уравнение (1.5) выполняется, если вместо подставить и поделить обе части на .

. (*)

– общий интеграл.

Следует показать, что он удовлетворяет (1.6).

Продифференцируем по :

.

Отсюда .

Получаем

.

Умножим это уравнение на , в результате получим:

, которое совпадает с (1.6)

Ч.т.д.

Лемма 4. Если является общим интегралом уравнения (1.6), то - частное решение (1.5).

Доказательство. Рассмотрим область решения, в которой выберем произвольную точку (Рис. 3).

Значение . Построим линию L, на которой .

Поделим (1.6) на , имеем

или

.

Поскольку , ,получаем

на линии .

Умножим последнее уравнение на , получим:

на линии . Поскольку точка выбиралась произвольно, то уравнение (1.5) справедливо во всей рассматриваемой области.

Ч.т.д.

Рис. 3
Уравнение (1.6) – характеристическое уравнение для (1.1). Зная общий интеграл для характеристического уравнения, можно так подобрать новую переменную , где - общий интеграл для (1.6), чтобы .

Аналогичным образом, если у нас есть еще один общий интеграл для (1.6),

,то его примем за новую переменную, чтобы .

Для характеристического уравнения

получаем

1) Для гиперболических уравнений () существуют 2 решения (2 общих интеграла) для (1.6).

Выбираем , .

Тогда можем обеспечить уничтожаемость и .

2) Для параболических уравнений ( имеется одно решение (один общий интеграл) для (1.6).

Выберем его за одну новую переменную , исключается только или .

3) Для эллиптических уравнений есть два комплексных решения характеристического уравнения.

За новые переменные можно взять их действительную и мнимую части.

Приведение дифференциальных уравнений второго порядка


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.014 сек.)