 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Уравнения малых поперечных колебаний упругой струны
У нас есть некая гибкая струна, которая колеблется (Рис.4).
| В каждый момент времени струна имеет профиль  – смещение точки с координатами  к моменту времени  .
|
Введем некоторые ограничения.
а) 
(поперечность).
Поперечные колебания реализуются перпендикулярно направлению оси 
и лежат в одной плоскости. В положении равновесия струна лежит на оси . Сила внешнего воздействия тоже перпендикулярна направлению оси .
б) 
(сила упругости) является касательной к профилю струны и ее величина мало меняется со временем 
(Рис.5)
| Рис.5 |
в) Колебания малы, т.е. нет растяжения участков струны (участки струны практически не меняют свою длину).
Длина дуги 
, где 
Условие малости колебанийф
Выпишем проекции векторов 
и на оси:
, 
;
, 
Пусть m – массы струны длиной 
.
Введем линейную плотность массы 
.
Если струна однородна, то 
. Участок струны dx с dm = k dx движется со скоростью 
.
Для участков dx и ∆x получаем изменение импульса
, 
.
Теперь используем второй закон Ньютона: 
,
, 
Определим силу, силу действующую на участок струны
, где 
- внешняя сила.
Пусть 
и 
.
Сила 
перпендикулярна к оси , т.е. 
, 
.
Тогда второй закон Ньютона примет вид векторного равенства
Получаем проекцию векторного равенства на ось 
Проекция этого равенства на ось может быть сведена к векторному равенству
Интеграл не зависит от , и нет зависимости 
от 
.
В итоге
Получаем интегральное уравнение колебаний струны.
Чтобы привести интегральное уравнение к дифференциальному, нужно воспользоваться теоремой о среднем, которая гласит
.
Тогда
где
; 
; 
; 
.
После деления на 
получим
после предельного перехода
, 
, 
, 
, 
, 
;
получаем дифференциальное уравнение со вторыми производными
или
; (2.1)
где
, 
.
Для однородной струны коэффициент 
– постоянен.
Уравнение (2.1) описывает малые колебания струны.
Физический смысл 
определим из соображений размерности:
,
следовательно, 
является скоростью, не совпадающей со скоростью струны. Ее смысл будет установлен в дальнейшем.
Покажем, что (2.1) - уравнение гиперболического типа.
Определим дискриминант 
для (2.1). Сравнивая с (1.1), получаем
, 
, 
, из этого следует 
.
Следовательно (2.1) является уравнением гиперболического типа.
Поиск по сайту: