Пружні хвилі та їх характеристики

Лекція №11 Механічні коливання і хвилі

Динаміка коливального руху

Затухаючі коливання

Вимушені коливання. Резонанс

Складання коливань

Пружні хвилі та їх характеристики

ü Динаміка коливального руху

Коливальні процеси є поширеними в природі. Під час коливань певна фізична величина змінюється в часі періодично. Періодично може змінюватися температура, напруженість електричного та магнітного поля, заряд на обкладинках конденсатора, положення годинникового маятника, або вантажу на пружинці, тощо.

Періодичним ми називаємо процес, в якому фізична величина приймає однакові значення через рівні інтервали часу , які називають періодом коливань. Іншими словами період коливань - інтервал часу, за який здійснюється одне повне коливання. Якщо фізична величина, що коливається в момент часу має значення , то через період вона має таке саме значення: .

Величина обернена до періоду, тобто , показує кількість повних коливань за одиницю часу, і має назву – лінійна частота коливань.

Розглянемо коливання маси на пружинці з коефіцієнтом жорсткості у напрямі осі (так званий лінійний осцилятор), при умові відсутності будь-яких зовнішніх сил – так звані гармонічні коливання. Такі коливання називають вільними коливаннями. Отже, на матеріальну точку маси діє лише сила з боку пружини, яка пропорційна зміщенню від положення рівноваги (точка ):

(1)

під дією пружної сили (1) матеріальна точка отримує прискорення :

(2)

де . Диференційне рівняння (2) перепишемо в канонічній формі:

(3)

Неважко перевірити прямою підстановкою, що функція:

(4)

є рішенням (3) при довільних значеннях констант та . Оскільки косинус є функцією обмеженою, то з нерівності , випливає нерівність . Отже, константа , яку називають амплітудою коливань, є максимально можливим відхиленням осцилятора від положення рівноваги. Графік функції (4) має вигляд, як показано на рисунку доданку 1.

Аргумент косинусу в (4) тобто вираз називають фазою коливань. Значення фази в момент , тобто природно називати початковою фазою коливань.

Знаючи залежність координати осцилятора від часу (4) неважко знайти швидкість та прискорення осцилятора як функції часу просто послідовно диференціюючи вираз (4) по часу:

(5)

Зверніть увагу: ці залежності також періодичні в часі з тим самим періодом . Тому величину називають циклічною частотою. Вона у разів більша від лінійної частоти, розглянутої вище.

Знання швидкості та зміщення осцилятора дозволяють знайти його повну механічну енергію як суму кінетичної енергії матеріальної точки () та потенційної енергії пружини ():

(6)

З останньої формули видно, що хоча кінетична та потенційна енергія осцилятора періодично змінюються в часі (зверніть увагу, що з удвічі більшою частотою - !), повна механічна енергія осцилятора зберігається в часі.

ü Затухаючі коливання

Гармонічні коливання відбуваються без втрат енергії, тобто як завгодно довго. Проте, в реальних коливальних системах завжди є зовнішній опір, отже, певні втрати енергії на його подолання (на роботу проти сил опору), все ж таки є. Тому реальні осцилятори здійснюють затухаючі в часі коливання. Причинами затухання коливань можуть бути сили тертя в точці, де підвішене тіло, сила опору середовища, передавання коливань іншим тілам, теплові ефекти в деформаціях пружини.

Розглянемо найпростіший випадок: розглянемо проекцію сили опору на один напрямок (вісь ), а також вважатимемо, що сила опору пропорційна величині швидкості, що можливо тільки при умові, що швидкість руху тіла незначна:

=-

(7)

де - постійна, так званий коефіцієнт опору. Знак „мінус” обумовлений тим, що сила та швидкість мають протилежні напрямки, відповідно і їх проекції на вісь мають різні знаки. Рівняння другого закону Ньютона при наявності сил опору матиме такий вигляд:

=- -

(8)

Виконавши деякі математичні перетворення і ввівши позначення:

= (9а)

= (9б)

перепишемо рівняння (8) у наступному вигляді:

+ + =

(10)

де - власна частота, тобто частота, з якою відбувалися би вільні коливання системи у відсутності опору середовища (при = ), нагадаємо, що - коефіцієнт квазіупружної сили.

Рівнянням (10) описуватиме затухаючі коливання, його рішенням є функція часу, яка має наступний вигляд:

=

(11)

де - величина, яка визначається за наступною формулою:

=

(12)

Зверніть увагу, затухаючі коливання відбуваються з частотою меншою від частоти вільних коливань: , причому нерівність є тим сильнішою, чим більше коефіцієнт опору . Графік функції (11) має вигляд, як показано на рисунку доданку 2.

У відповідності із виглядом функції (11) рух системи можливо розглядати як гармонічне коливання частоти с амплітудою, яка змінюється за законом:

=

(13)

Початкове зміщення залежить окрім також і від початкової фази :

=

(14)

Швидкість затухання коливань визначається коефіцієнтом затухання:

=

(15)

Якщо, наприклад, визначити час , за який амплітуда зменшується в разів, тобто з формули (13): = , або = , тобто = , то отримаємо зв’язок: = . Отже, коефіцієнт затухання є оберненим за величиною тому проміжку часу, за який амплітуда зменшується в разів:

=

(16)

Пригадаємо формулу для періоду гармонічних коливань , тоді формула для періоду затухаючих коливань з урахуванням (12) буде мати наступний вигляд:

=

(17)

З (17) видно, що при умові незначного опору середовища коли , період коливань практично можна розрахувати за формулою . Але із зростанням коефіцієнта затухання , період коливань також буде зростати. Період коливань стає безкінечним, коли = , тобто запасу енергії не вистачає навіть на одне повне коливання. Якщо ж , такий рух буде аперіодичним, тобто виведений з положення рівноваги осцилятор повернеться в положення рівноваги так і не здійснивши хоча б одного повного коливання. На рисунку доданку 3 показані два можливі способи повертання системи в положення рівноваги при аперіодичному русі, які в свою чергу залежать від початкових умов. Рух осцилятора, який описується червоною кривою можливий у випадку, якщо виведеній з положення рівноваги системі надати достатньо сильний поштовх (тобто надати їй початкової швидкості). Але, якщо виведену з положення рівноваги систему відпустити без поштовху (початкова швидкість дорівнюватиме нулю), то її рух буде відбуватися у відповідності із синьою кривою.

Взагалі то відношення значень амплітуд, які відповідають проміжкам часу, що відрізняються на період, отримало назву декремента затухання і дорівнює:

=

(18)

Але частіше користуються натуральним логарифмом від декремента, який називається логарифмічним декрементом затухання:

= =

(19)

Відповідно і закон затухання амплітуд можна представити у дещо зміненому вигляді:

=

(13а)

За час , за який амплітуда зменшується в разів, система встигне здійснити = . Отже, = = , звідки випливає, що логарифмічний декремент затухання обернений за величиною до кількості коливань , які здійснить система за час , на протязі якого амплітуда зменшиться у разів.

Для характеристики коливальної системи часто використовується величина, яка отримала назву добротності, яка дорівнює відношенню початкового запасу енергії в системі до витрат на подолання сил опору за період коливань:

=

(20)

де - зростання енергії (нагадаємо, що приріст енергії розраховується як різниця = - ). Отже, чим більшою є добротність осцилятора, тим більше коливань він встигає здійснити до повного вичерпання енергії та зупинки. З іншого боку добротність осцилюючої системи можливо розрахувати за формулою:

= =

(21)

При затухаючих коливаннях енергія системи витрачається на подолання опору середовища. Якщо ж поповнювати ці витрати, коливання стануть незатухаючими. Поповнення енергії осцилятора може відбуватися за рахунок поштовхів ззовні, при умові що поштовхи відбуваються у такт із його коливаннями. Інакше вони можуть послабити коливання, або, навіть, зовсім припинити їх. Однак, можна зробити так, щоб коливальна система сама керувала зовнішнім впливом, тим самим забезпечуючи узгодженість поштовхів із своїми рухами. Така система має назву автоколивальної, а коливання, відповідно, автоколиваннями. Прикладом може бути годинниковий механізм.

Отже, у відсутності сил опору, коливання системи є власними.

ü Вимушені коливання. Резонанс

Уявіть собі, що на коливальну систему (осцилятор) діє зовнішня сила – змушувальна сила, яка до того ж сама змінюється за гармонічним законом, де - амплітуда змушувальної сили:

=

(22)

За другим законом Ньютона рух такої системи описуватиметься наступним рівнянням:

=- - +

(23)

Після додаткових перетворень та введення позначення = (зверніть увагу, розмірність цієї величини співпадає із розмірністю прискорення, але залежить від амплітуди змушувальної сили та маси осцилятора) рівняння руху осцилятора під дією зовнішньої періодичної сили прийме наступний вигляд:

+ + =

(24)

де - власна частота системи, - частота змушувальної сили. Рівнянням (24) описуються так звані вимушені коливання, причому у випадку, коли змушувальна сила змінюється за гармонічним законом. Рівняння (24) має вигляд подібний до лінійних диференційних рівнянь із постійними коефіцієнтами. Рішення такого рівняння є складним, тому що воно є неоднорідним. Як відомо, загальне рішення такого неоднорідного рівняння дорівнює сумі загального рішення відповідного однорідного рівняння та часткового рішення неоднорідного рівняння. Загальне рішення однорідного рівняння є функція виду:

= ( + )

(25)

де = , , - довільні сталі. Часткове рішення (тобто таке, що не містить довільних сталих) має наступний вид:

= -

(26)

Функція (25) у сумі із (26) дає загальне рішення рівняння (24), яке описує поведінку осцилятора при вимушених коливаннях. Доданок (25) є важливим лише на початку коливального процесу, при так званому часі становлення коливань. Далі з часом вплив доданку (25) все більше зменшується завдяки експоненціальному множнику і через певний час їм взагалі можна знехтувати, враховуючи тільки доданок (26).

Отже, функція (26) описує усталенні вимушені коливання. Це гармонічні коливання із частотою, яка дорівнює частоті змушувальної сили. Амплітуда вимушених коливань пропорційна амплітуді змушувальної сили. Для певної коливальної системи (певні значення та ) амплітуда залежить від частоті змушувальної сили: = . Ця залежність називається амплітудно-частотною характеристикою осцилятора (АЧХ). АЧХ, тобто залежність амплітуди від частоти змушувальної сили, звичайно виглядає як крива з максимумом (або, навіть, із декількома максимумами, що трапляється для складних коливальних систем). Вимушені коливання відстають по фазі від змушувальної сили, причому величина відставання також залежить від частоти змушувальної сили.

Залежність амплітуди вимушених коливань від частоти змушувальної сили приводить до того, що при певній величині частоти, характерної для даної системи, амплітуда коливань сягає максимального значення. Осцилятор достатньо чутливо відкликається на дію змушувальної сили при такій частоті. Це явище має назву резонансу, а частота - резонансною. Отже, при певній частоті (так званій резонансній частоті) зовнішньої сили вимушені коливання сягають максимально можливої амплітуди. Явище досягнення максимально можливої амплітуди вимушених коливань має назву резонансу.

Резонансну частоту можна визначити за формулою (див. (26)):

=

(27)

Вираз для амплітуди при резонансі має наступний вид:

=

(28)

З (28) можна зробити висновок, що у відсутності опору середовища амплітуда при резонансі обертається у безкінечність. А з (27) слідує, що резонансна частота при таких умовах співпаде із власною частотою осцилятора. Якщо частота змушувальної сили буде надто велика, тобто вона буде настільки швидко змінювати свій напрямок, то осцилятор не встигатиме помітно зміститися від положення рівноваги.

Звернемо увагу на два факти: по-перше, резонансна частота менше власної, по-друге, чим менше , тим сильніше змінюється із частотою амплітуда поблизу резонансу, що видно з (27).

ü СКЛАДАННЯ КОЛИВАНЬ

Коливання можуть складатися і при цьому підсилювати, або гасити одне іншого, або результуючий рух може навіть не бути коливанням взагалі. Результат складання двох гармонічних коливань відчутне залежить від того які саме коливання складаються: однаково спрямовані, чи різноспрямовані. Ми розглянемо спершу складання коливань, які відбуваються незалежно один від одного, але в одному і тому ж напрямі. При додаванні двох гармонічних коливань одного напрямку виникає більш складний (ніж просто гармонічний) рух. З деякими прикладами ми ознайомимося. Для полегшення вирішення цієї задачі часто використовують графічне зображення коливань у вигляді векторів, що обертаються на площині. Отримані таким способом схеми називатимемо векторними діаграмами.

Розглянемо складання двох незалежних гармонічних коливань однакового напрямку та однакової частоти, рівняння яких є:

	(29а)
	(29б)

Зобразимо на векторній діаграмі обидва коливання як проекції двох векторів (довжиною відповідно та ), які обертаються з кутовою швидкістю , на координатну вісь (рис.2). Через те, що кутові швидкості обертання однакові для двох векторів (тому що частота гармонічних коливань, що складаються, однакова), то результуюче коливання, яке зображується сумою векторів ( = + ), також є гармонічним, причому з тою ж самою частотою . Амплітуда результуючого гармонічного коливання знаходиться за відомою з математики теоремою косинусів:

=

(30а)

Або в іншому, більш зручному для нас вигляді:

=

(30б)

З векторної діаграми видно, що результуюче коливання відбувається із частотою . Причому воно випереджає за фазою перше з коливань і відстає від фази другого.

Припустимо, що коливання, які ми складаємо мають різні частоти (), хоча й однаковий напрямок, тоді вектори на діаграмі рис.2 обертаються з різною кутовою швидкістю (подібно хвилинній та годинній стрілкам годинника). Результуючий вектор пульсує за величиною і обертається з непостійною швидкістю за таких умов. Отже, результуюче коливання в цьому випадку не є гармонічним (рис.3).

Якщо ж, наприклад, амплітуди коливань, що додаються, рівні, (початкові фази приймемо рівними нулю), а їх частоти не надто сильно відрізняються одна від одної , то вираз для опису коливань подібної системи осциляторів буде мати наступний вигляд:

=

А результат подібних коливань можна трактувати як коливання із амплітудою, яка повільно змінюється із постійною частотою (але зверніть увагу, такі коливання – негармонічні!). Вигляд подібних коливань показаний на рис.4.

Як видно, результуючий процес (сума двох гармонічних коливань різної частоти) не є гармонічним коливанням. Амплітуда коливань також не зберігається в часі. Такі періодичні, але негармонічні процеси називаються биттями [5-8]. При складанні подібних звукових коливань чутно буде звук певної висоти (частоти) із періодично змінюваною гучністю (амплітудою). Явищем биття користуються настроювачі музикальних інструментів. По зникненню биттів вони судять про точний збіг частоти струни та еталонного джерела звука. Явище (складання коливань близьких за частотою) також використовується у радіоприймачах – гетеродинах, які, в свою чергу використовуються у радіолокаторах [7, с.279].

Розглянемо також коливальні процеси, в яких за гармонічним законом змінюється або амплітуда коливань, або їх частота. Такі коливання називають модульованими коливаннями. Нехай амплітуда коливань з частотою (несуча частота) сама змінюється за гармонічним законом з частотою (частота модуляції). Отже рівняння амплітудно-модульованих коливань (АМ-коливань) матиме вигляд:

=

(31)

Відношення називають коефіцієнтом, або глибиною модуляції. Вигляд амплітудно модульованих коливань зображений на рис.5. Амплітудна модуляція уживається тоді, коли треба передавати низькочастотний сигнал (), припустимо звукові частоти, використовуючи як носії сигналу високочастотні хвилі (), наприклад радіохвилі.

Можна, з тою ж метою, і також періодично, з частотою змінювати частоту коливань. Такий спосіб модуляції коливань має назву частотної модуляції (FM-модуляція). Отже, припустимо, що частота змінюється за гармонічним законом:

(32)

Тоді рівняння частотно-модульованих коливань виглядатиме так:

(33)

Вигляд частотно-модульованих (FM) коливань зображений на рис.6. Амплітуда коливань в цьому випадку не змінюється, проте помітно змінюється частота. Варто зауважити, що модульовані коливання не є гармонічними коливаннями, як це видно з рис.4,5,6. Отже, результатом складання декількох гармонічних коливань різної частоти (амплітуди)буде періодичний, але не гармонічний процес.

Далі розглянемо випадки, коли складаються два гармонічних коливання, спрямовані у двох взаємно перпендикулярних напрямах.

В якості простої моделі такого тіла, яке коливається у двох взаємно перпендикулярних напрямах розглянемо матеріальну точку маси на чотирьох пружинах, як показано на рис.7. Аналогічно моделі пружинного маятника поводитиме себе також електронний промінь осцилографа, якщо на вертикальну та горизонтальну пари пластин подати напруги різної амплітуди, що гармонічно змінюються в часі.

Матеріальна точка одночасно здійснює два гармонічні коливання - уздовж осі , та уздовж осі :

=	(34)
=	(35)

причому частоти цих коливань не обов’язково однакові.

В такому випадку траєкторія руху матеріальної точки може бути доволі складною. Проаналізуємо найпростішу умову: , тобто випадок, коли частоти коливань точно співпадають.

Припустимо спершу, що . Тоді рівняння (34) та (35) можна переписати у вигляді:

= , = =

(36)

Підносячи обидві частини рівнянь (36) у квадрат, отримуємо наступне рівняння траєкторії:

(37)

Яке очевидно, є канонічним рівнянням еліпсу з напівосями , . В залежності від різниці поміж початковими фазами коливань траєкторія може набувати виглядів, показаних на рис.8. Зокрема при еліптична траєкторія вироджується в відрізок прямої лінії – діагональ прямокутника зі сторонами , . При матеріальна точка обертається за годинниковою стрілкою, при - відповідно проти годинникової стрілки. Отже, еліптичний (і зокрема також і коловий) рух можна розглядати як результат складання двох коливань однакової частоти, які здійснюються у взаємно перпендикулярних напрямах і мають певну різницю початкових фаз. Якщо частоти коливань не співпадають, але вони є кратними, тобто:

(38)

причому числа обов’язково є цілими числами, то траєкторія руху матеріальної точки являє собою так звані фігури Лісажу, показані на рис.9, для різних сполучень (на рисункові ці числа позначені як ). До того ж співвідношення чисел дорівнює кількості дотикань траєкторії до сторін прямокутника, в який вона вписана. Траєкторії є замкненими, лише тоді, коли виконується співвідношення (38), тобто спостерігається кратність частот. Якщо частоти коливань не є кратними, і (38) не виконується, то траєкторія руху матеріальної частинки є незамкненою і поступово заповнює весь прямокутник зі сторонами як нитка з оберемка. Отже, всі складні періодичні рухи можуть бути представлені у вигляді суми гармонічних коливань різних напрямків, частот, амплітуд і початкових фаз.

Отже, із складання гармонічних коливань різних частот і напрямів результуючий рух осцилятора найчастіше являє собою складний коливальний процес. Можна представляти кожний складний коливальний процес як суму простих гармонічних коливань. У математиці, навіть, є доведене твердження, що будь-яку періодичну функцію = ( ) з періодом можна подати як суму гармонічних функцій кратних частот, який має назву ряду Фур’є:

= + + +...+ + +...

(39)

Практично гармонічний аналіз складного коливального процесу можна провести за допомогою набору резонаторів з різною власною частотою. Таким є, наприклад, язичковий частотомір [6, с. 184]. Він являє собою набір пружних язичків різної довжини прикріплених до пластини. Пластина зв’язується з досліджуваною коливальною системою. За умови збігу частот окремі язички реагують на прості коливання, що входять до складного коливального процесу.

В акустиці для аналізу складних звуків використовують набір резонаторів Гельмгольца - порожнистих куль різних розмірів з двома отворами: один для входу звуку, другий для сполучення з каналом вуха [6, с. 184]. Власну частоту коливань резонаторів Гельмгольца визначають так:

=

(40)

де - швидкість звуку, - площа вхідного отвору, - довжина вхідної шийки, - об’єм порожнини резонатора. Добираючи ті резонатори, які реагують на комплексний звук, можна дізнатися, з яких простих звуків він складається.

ü ПРУЖНІ ХВИЛІ ТА ЇХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Уявіть собі осцилююче матеріальне тіло, яке занурене у пружне середовище (тверде, рідке або газоподібне). Таке тіло під час коливань буде впливати на прилягаючі до нього частинки середовища (які взаємодіють поміж собою), тим самим викликаючи коливальний рух цих частинок. При цьому коливання чим дальших „захоплених” частинок будуть дещо відставати по фазі від, тих, що почали коливатися раніше. На це є дуже важлива причина: передача коливань від точки до точки завжди здійснюється із кінцевою швидкістю, яка характерна для даного середовища. Причому швидкість руху кожної осцилюючої точки безперервно змінюється за величиною і залежить від амплітуди, частоти і фази коливань. Отже, осцилятор у пружному середовищі є джерелом коливань, які розповсюджуються від нього у всіх напрямках. Процес розповсюдження коливань у пружному середовищі називається хвилею. Частинки середовища, в якому розповсюджується хвиля, не переносяться у просторі разом з хвилею, вони лише здійснюють обмежені за амплітудою коливання коло своїх положень рівноваги.

Нехай хвилі розповсюджуються із такими малими зміщеннями осциляторів, аби виникаючі деформації середовища можна було б вважати пружними, тобто такими, які підкоряються закону Гука і принципу суперпозиції. Вважатимемо хвилі гармонічними, а більш складні хвилі представлятимемо сукупністю цих простіших. До того ж швидкість розповсюдження хвиль не залежить від частоти коливань (це припущення справедливе лише для непоглинаючих ідеально прозорих, пружних середовищ).

Розглянемо таке середовище, в якому при зміщенні будь-якої частинки від положення рівноваги виникають пружні сили, пропорційні величині зміщення, і спрямовані проти зміщення частинки. Такі сили повертають частинку до положення рівноваги. Моделями такого середовища (у двох вимірах) можуть бути сукупності осциляторів на пружинках, зображені на рис. 10.

Як видно з рисунків, коливання частинок середовища може співпадати з напрямом розповсюдження хвилі, як на рис.10а, де хвиля розповсюджується уздовж горизонтальної осі , і уздовж тої ж осі відбуваються коливання осциляторів. Тому в середовищі виникають області згущення (підвищеної густини) та розрідження (меншої густини). Можна також вважати, що в пружному середовищі на рис. 10а виникають деформації розтягу-стискання. Отже, хвилі, в яких коливання відбуваються вздовж лінії розповсюдження мають назву поздовжніх хвиль.

На рис.10б напрям коливань осциляторів () і напрям розповсюдження хвилі () є взаємно перпендикулярними. У пружному середовищі на рис.10б під час розповсюдження хвилі відбуваються деформації зсуву. Отже, хвилі, в яких коливання відбуваються в напрямку, перпендикулярному розповсюдженню, є поперечними хвилями.

В обох випадках кожен осцилятор коливається навколо власного положення рівноваги і переносу маси хвилею не відбувається. Проте, перенос енергії та імпульсу у хвилі є завжди.

У газах та рідинах поперечні пружні хвилі неможливі, оскільки відсутній опір атомів відносно деформації зсуву. Іншими словами, модуль зсуву для газів та рідин дорівнює нулю. Тому в цих середовищах можливі лише поздовжні пружні хвилі, тобто хвилі стискання-розрідження. як на рис.10а. У твердих тілах, де можливі як деформації розтягу-стискання, так і деформації зсуву, можливі і поздовжні, і поперечні пружні хвилі.

Розповсюдження від джерела коливань хвильового процесу супроводжується поступовим охопленням коливаннями нових частин простору. Геометричне місце точок, до яких доходять коливання на момент часу має назву фронту хвилі (або хвильового фронту): представляє собою поверхню, яка відділяє частину простору, яка вже приймає участь у хвильовому процесі, від області, де коливання ще не виникли. Геометричне місце точок, які коливаються в однаковій фазі називається хвильовою поверхнею. Хвильові поверхні завжди лишаються рухомими, а хвильовий фронт є частковим випадком хвильової поверхні [10, с. 390]. Хвильові поверхні можуть мати будь-яку форму. У простіших випадках (ізотропного, однорідного середовища) вони можуть мати форму площини або сфери. Відповідно й хвиля має назву або плоскої або сферичної.

На рис.11 ви бачите криву яка демонструє залежність зміщення від положення рівноваг точок з різними в деякий момент часу. Зауважимо, що це зображення графіку залежності функції для певного фіксованого моменту часу . Але насправді з часом графік переміщається вздовж осі .

Відстань , на яку розповсюджується хвиля за час періоду коливань частинки середовища називається довжиною хвилі:

= або	(41а)
=	(41б)

де - швидкість розповсюдження хвилі, - лінійна частота коливань. Довжину хвилі можна також визначити як відстань поміж будь-якими двома найближчими точками середовища, які здійснюють коливання із різницею фаз .

Рівнянням хвилі є вираз, який описує зміщення осцилятора як функцію її координат , , та часу : Вона повинна бути періодичною як відносно часу так і відносно координат , , .

=

(42)

Для знаходження вигляду функції розглянемо простий випадок: плоска хвиля, яка розповсюджується вздовж осі (рис.12). Нехай гармонічні коливання точок в площині задовольняють рівнянню:

= ()

(43)

Для визначення виду коливань точок в площині, яка знаходиться на відстані від збуджуючого осцилятора (джерела хвилі), необхідно врахувати, що хвилі із швидкістю на подолання цієї відстані у нашому пружному середовищі потрібен певний час :

=

(44)

Відповідно й коливання точок в площині на відстані будуть відставати за часом на від коливань в площині :

=	(45а)
=	(45б)
=	(45в)

Отже, рівняння плоскої хвилі (повздовжньої, поперечної), яка розповсюджується у напрямку осі має вигляд (45б). - амплітуда хвилі. Початкова фаза хвилі визначається вибором початку відліку як часу так і положення .

Під знаком косинуса у (45б) – фаза - функція і :

=

(46)

Зафіксуємо значення фази і покладемо її рівною деякої константі, початкову фазу вважатимемо рівною нулю :

=

(47)

Права частина рівняння мусить бути константою, тоді як ліва явно залежить від часу. Тому , звідки:

=

(48)

Вираз (48) дає швидкість, з якою переміщується дане значення фази. Відповідно швидкість розповсюдження хвилі є швидкістю переміщення фази, тому її називатимемо фазовою швидкістю.

Якщо , хвиля розповсюджується в бік зростання . Хвиля, яка розповсюджується у протилежному напрямку буде описуватися:

=

(49)

Вираз (45б) описує хвилю, яка відстає від (43) по фазі на величину , де через – хвильове число:

(50)

Рівняння плоскої хвилі, яка розповсюджується вздовж осі прийме наступний вигляд:

=

(51)

Хвильове число є модулем так званого хвильового вектора = , який визначає напрямок розповсюдження хвилі, де - вектор нормалі до хвильової поверхні.

Поиск по сайту: