И шестнадцатеричную

Перевод чисел из десятичной системы в двоичную, восьме­ричную и шестнадцатеричную более сложен и может осуще­ствляться различными способами. Рассмотрим один из алго­ритмов перевода на примере перевода чисел из десятичной системы в двоичную. При этом необходимо учитывать, что алгоритмы перевода целых чисел и правильных дробей будут различаться.

Алгоритм перевода целых десятичных чисел в двоичную систему счисления. Пусть А_цд — целое десятичное число. За­пишем его в виде суммы степеней основания 2 с двоичными коэффициентами. В его записи в развернутой форме будут отсутствовать отрицательные степени основания (числа 2):

А_цд = а_n-1•2^n-1+а_n-2•2^n-2 +... + а₁ •2¹+ а₀•2⁰.

На первом шаге разделим число А_цд на основание двоич­ной системы, то есть на 2. Частное от деления будет равно

a_n-1•2^n-2 + а^n-2•2^n-3 +... + а₁, а остаток — равен а₀.

На втором шаге целое частное опять разделим на 2, оста­ток от деления будет теперь равен а₁

Если продолжать этот процесс деления, то после n-го шага получим последовательность остатков:

а₀,а₁… а_n-1

Легко заметить, что их последовательность совпадает с обратной последовательностью цифр целого двоичного чис­ла, записанного в свернутой форме:

А₂ = а_n-1...а₁а₀.

Таким образом, достаточно записать остатки в обратной по­следовательности, чтобы получить искомое двоичное число.

Алгоритм перевода целого десятичного числа в двоичное будет следующим:

Последовательно выполнять деление исходного целого десятичного числа и получаемых целых частных на осно­вание системы (на 2) до тех пор, пока не получится част­ное, меньшее делителя, то есть меньшее 2.

Записать полученные остатки в обратной последователь­ности.

В качестве примера рассмотрим перевод десятичного чис­ла 19 в двоичную систему, записывая результаты в таблицу:

В результате получаем двоичное число:

A₂ =a₄a₃a₂a₁a₀=10011₂

Алгоритм перевода правильных десятичных дробей в двоичную систему счисления. Пусть А_дд — правильная деся­тичная дробь. В ее записи в развернутой форме будут отсут- ствать положительные степени основания (числа 2):

А_дд = а_-1 • 2^-1 + а_-2 •2^-2 +...

На первом шаге умножим число A_дд на основание двоич­ной системы, то есть на 2. Произведение будет равно:

а_-1 + а_-2 • 2¹ +...

Целая часть будет равна а_-1

На втором шаге оставшуюся дробную часть опять умно­жим на 2, получим целую часть, равную а_-2.

Описанный процесс необходимо продолжать до тех пор, пока в результате умножения мы не получим нулевую дроб­ную часть или не будет достигнута требуемая точность вы­числений.

Легко заметить, что последовательность полученных чи­сел совпадает с последовательностью цифр дробного двоич­ного числа, записанного в свернутой форме:

А₂ =a_-1 a_-2…

Алгоритм перевода правильной десятичной дроби в дво­ичную будет следующим:

Последовательно выполнять умножение исходной деся­тичной дроби и получаемых дробных частей произведе­ний на основание системы (на 2) до тех пор, пока не полу­чится нулевая дробная часть или не будет достигнута требуемая точность вычислений.

Записать полученные целые части произведения в пря­мой последовательности.

В качестве примера рассмотрим перевод десятичной дроби 0,75 в двоичную систему, записывая результаты в таблицу:

В результате получаем двоичную дробь: А₂ = 0,a_-1a_-2 = 0,11₂

Перевод чисел из системы с основанием р в систему с основанием q. Перевод чисел из позиционной системы с про­извольным основанием р в систему с основанием q произво­дится по алгоритмам, аналогичным рассмотренным выше.

Рассмотрим алгоритм перевода целых чисел на примере перевода целого десятичного числа А₁₀ = 424₁₀ в шестнадца­теричную систему, то есть из системы счисления с основани­ем р = 10 в систему счисления с основанием q = 16.

В процессе выполнения алгоритма необходимо обратить внимание, что все действия необходимо осуществлять в ис­ходной системе счисления (в данном случае десятичной), а полученные остатки записывать цифрами новой системы счисления (в данном случае шестнадцатеричной).

В результате получаем шестнадцатеричное число:

A₁₆ = a₂a₁a₀ = 1A8₁₆

Рассмотрим теперь алгоритм перевода дробных чисел на примере перевода десятичной дроби А₁₀ = 0,625 в восьме­ричную систему, то есть из системы счисления с основанием р = 10 в систему счисления с основанием q = 8.

В процессе выполнения алгоритма необходимо обратить внимание, что все действия необходимо осуществлять в ис­ходной системе счисления (в данном случае десятичной), а полученные остатки записывать цифрами новой системы счисления (в данном случае восьмеричной).

В результате получаем восьмеричную дробь: A₈ = а_-1а _-2= 0,32₈.

Перевод чисел, содержащих и целую и дробную части, производится в два этапа. Отдельно переводится по соответ­ствующему алгоритму целая часть и отдельно — дробная. В итоговой записи полученного числа целая часть от дробной отделяется запятой.

Поиск по сайту: