Системы счисления и действия в них

Общая характеристика процессов сбора, передачи, обработки и накопления информации базируется на использовании кодирования информации средствами ее представления в виде чисел определенных систем счисления, в частности, двоичной, шестнадцатиричной.

Алфавит Х из р символов и правила записи (изображения) и обработки чисел с помощью символов этого алфавита называются системой счисления (нумерацией) с основанием р. Число х в системе с основанием р обозначается как (х)_р или х_р [1].

Любая система счисления – это система кодирования числовых величин (количеств), позволяющая выполнять операции кодирования и декодирования, то есть по любой количественной величине однозначно находить его кодовое представление и по любой кодовой записи – восстанавливать соответствующую ей числовую величину.

Все системы счисления строятся по общему принципу: определяется величина р – основание системы, а любое число х записывается в виде комбинации степеней веса р от 0-й до n-й степени следующим образом:

(x)₁₀ = x_npⁿ + x_n–1p^n–1 +... + x₁p¹ + x₀p⁰.

Наиболее используемые в информатике системы счисления кроме десятичной – это:

1) двоичная, над алфавитом Х = {0,1};

2) восьмеричная, над Х = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7};

3) шестнадцатеричная, над Х = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, С, D, Е, F}, где символы А, В, С, D, Е, F имеют, соответственно, десятичные веса 10, 11, 12, 13, 14, 15.

Пример. 1101₂ = 1 * 2³ + 1 * 2² + 0 * 2¹ + 1 * 2⁰ = 8 + 4 + 1 = 13₁₀,

157₈ = 1 * 8² + 5 * 8¹ + 7 * 8⁰ = 64 + 40 + 7 = 111₁₀,

A6F₁₆ = 10 * 16² + 6 * 16¹ + 15 * 1 = 2671₁₀.

Для изображения десятичных дробей используется формула разложения по степеням основания.

Пример. 110.001₂ = 1*2² + 1 * 2¹ + 0 * 2⁰ + 0 * 2^-1 + 0 * 2^-2 + 1 * 2^-3 = 6.125₁₀;

A.B₁₆ = A * 16⁰ + B * 16^-1 = 10 * 1 + 11 * 0,0625 = 10,6875₁₀.

Процедура перевода десятичных чисел в систему счисления Р:

1. Перевести отдельно целую часть числа х, для чего последовательно делить сперва целую часть [х]₁₀, а затем все частные (получаемые при делении) на р до тех пор, пока не получим в очередном частном число меньшее р; изображение [х]_p получается последовательным приписыванием к последнему частному остатков от деления – от последнего до первого;

2. Перевести отдельно дробную часть (мантиссу) числа, то есть {x}₁₀, для чего последовательно умножать сначала исходную мантиссу, а затем мантиссы получаемых чисел на р до тех пор, пока не получим мантиссу, равную нулю, или нужное количество цифр в {х}_p; изображение {х}_p получается приписыванием к целой части первого произведения второй такой же цифры и т.д., до последней цифры целой части;

3. результат будет иметь вид (х)_р = [х]_p, {х}_p.

Пример. Найти: 12₁₀ =?₂. Решение:

12₁₀ = 8 + 4 = 1 * 2³ + 1 * 2² + 0 * 2¹ + 0 * 2⁰ = 1100₂.

Пример. Найти 29₁₀ =?₈.

Решение имеет вид: 29₁₀ = 3 * 8¹ + 5 * 8⁰ = 35₈;

Пример. Найти 79₁₀ =?₁₆.

Решение: 79₁₀ = 4 * 16¹ + 15 * 16⁰ = 4F₁₆.

Для перевода из 2-ой в 8-ую системы счислений и наоборот, из 2-ной в 16-ную системы счислений и наоборот, из 8-ной в 16-ную и обратно используется таблица следующего вида:

При переводе в 8-ную систему или из нее необходимо группировать в тройки биты, а при переводе в 16-ную или из нее – группировать их в четверки битов. Можно добавлять, если нужно, незначащие нули (слева от целой части и справа от мантиссы, т.е.дробной части) или отбрасывать их.

Пример. Рассмотрим переводы в смешанных системах.

1. Из 2-ной системы в 8-ную (двоично-восьмеричное изображение):

2. из 8-ной системы в 2–ную (восьмерично-двоичное изображение):

3. из 2-ной системы в 16-ную (двоично-шестнадцатеричное изображение):

4. из 16-ной системы в 2-ную (шестнадцатерично-двоичное изображение):

Сложение в двоичной системе счисления осуществляется по правилам

0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 2₁₀ = 10₂ (единица идет в старший разряд).

Таблица вычитания в двоичной системе счисления имеет вид

0 – 0 = 0, 1 – 0 = 1, 1 – 1 = 0, 0 – 1 = 10 – 1 = 1 (единицу забираем у старшего разряда).

Таблица умножения в двоичной системе счисления имеет вид

0 x 0 = 0, 0 x 1 = 0, 1 x 0 = 0, 1 x 1 = 1.

Таблица деления в двоичной системе счисления имеет вид

0: 0 = не определено, 1: 0 = не определено, 0: 1 = 0, 1: 1 = 1.

Обратным кодом числа в системе с основанием р называется число в этой системе, получаемое заменой цифры, символа в каждом разряде числа на его дополнение до максимальной цифры в системе (то есть до р – 1).

Дополнительный код = обратный код + единица в младшем разряде.

Пример.

1. 10011 двоичное число,

01100 обратный код этого двоичного числа,

01101 дополнительный код этого двоичного числа;

2. 457 восьмеричное число,

320 обратный код этого восьмеричного числа,

321 дополнительный код;

3. А9 шестнадцатеричное число,

56 обратный код этого шестнадцатиричного числа,

57 дополнительный код.

Вычитание в ЭВМ идет с помощью дополнительного кода: найти дополнительный код вычитаемого такой же разрядности, как и уменьшаемое, и сложить этот код с уменьшаемым. Результатом вычитания будет полученная сумма без учета старшего разряда, который отбрасывается.

Пример. Выполним вычитание напрямую и через сложение (через дополнительный код):

Нужно всегда иметь в виду, что точность в теоретической математике – понятие абстрактное, и в практической математике может возникать иллюзия точности там, где ее на самом деле нет.

Так как диапазон n-разрядных чисел системы счисления с основанием p находится в пределах , то для представления дробных чисел этот диапазон еще снижается, поскольку часть разрядов необходимо отвести под изображение мантиссы. Таким образом, имеются так называемые "зоны нечувствительности" форм представления чисел в n-разрядных арифметиках.

В 1937 году Конрадом Цузе для увеличения диапазона чисел, представимых в арифметике двоичных чисел, а также для повышения точности этого представления чисел было предложено представление чисел в плавающей, нормализованной форме – число x представляется в виде: , где m – мантисса числа, k – целый порядок числа, .

Если из n разрядов, отводимых под изображение чисел, m двоичных разрядов отвести под мантиссу, k – под порядок, один разряд – под знак числа и один разряд – под знак порядка (например, 0 – плюс, 1 – минус), то диапазон представимых в форме с плавающей запятой чисел резко увеличивается (m + k + 2 = n):

(многоточие соответствует k единицам).

Числа, меньшие нижней границы положительных чисел и большие верхней границы отрицательных чисел, считаются равными нулю, не различаются между собой. Числа, большие верхней границы положительных чисел, полагаются равными положительной бесконечности (меньшие нижней границы отрицательных – отрицательной бесконечности).

Поиск по сайту: