Свойства операции транспонирования матриц

1)

2)

3)

Умножениематриц.

Умножение матрицы A на матрицу B определено, когда число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B (условиесцепления).В этом случае матрица A называется согласованной с матрицей B.

Определение Произведениемматриц A размера и B размера называется матрица С, элементы которой равны скалярным произведениям векторов-строк матрицы A на векторы-столбцы матрицы B:

С = AB = Матрица С имеет размер

Пример. A = B = .

A

Свойствапроизведенияматриц.

1) Произведениевектора-строки , наматрицу eсть вектор-строка , где

Пример.

2) Произведениематрицы навектор-столбец есть вектор-столбец где

Пример.

3) Произведениевектора-столбца навектор-строку есть матрица

Пример.

4) Произведениевектора-строки навектор-столбец есть число (или матрица размера 1 1)

Пример.

5) Свойства произведения матриц. Пусть - матрицы соответствующих размеров (чтобы произведения матриц были определены). Тогда:

a) (AB)C = A(BC);

b) (A+B)C = AC+BC;

c) A(B+C) = AB+AC

d)

e) AI = A;

f) IA=A;

g)

h)

6) Произведение матриц, вообще говоря, некоммутативно, т.е. .

Для квадратных матриц А и В одного порядка матрица [A,B]=AB - BA называется коммутаторомматриц А и В.

7) Существуют делителинулевойматрицы, т.е. из и и из и .

8) В общем случае из того, что AB = AC и A

9) Транспонированиепроизведения. Пусть Тогда

- условие сцепления выполняется только для

10) Определительпроизведенияквадратныхматриц одного порядка detAB=detA detB.

Возведение матрицвнатуральнуюстепень.

Определение Натуральнойстепенью Aⁿ, n , квадратной матрицы А называется произведение n матриц, равных А, т.е Aⁿ .

Свойстваоперациивозведениявнатуральнуюстепень.

1)

2)

Матрица называется нильпотентной, если для некоторого Наименьшее из чисел m, для которых имеет место это равенство, называется индексомнильпотентности.

Матрица А называется идемпотентной, если

Матрица А называется инволютивной, если A .

Многочлены отматриц.

Пусть даны квадратная матрица и многочлен f(x) = .

Значением многочлена f(x) при x=A или многочленом f(A) совпадает с порядком матрицы А.

Если то многочлен f(x) называется аннулирующим многочленом матрицы А, а сама матрица А- корнем многочлена f(x).

Пример.

Матрица A является корнем f(x), а f(x) является аннулирующим многочленом для матрицы А.

4. Обратная матрица.

Определение. Квадратная матрица А называется вырожденной (невырожденной), если detA=0 (detA 0).

Определение. Матрица называется правой (левой) обратной к матрице , если АВ=I (CA=I).

Теорема. Если для матрицы А существуют левая обратная матрица С и правая обратная матрица B, то С=B.

Доказательство.

С=CI=C(AB)=(CA)B=IB=B.

Определение. Матрица называется обратной по отношению к квадратной матрице A, если при умножении матрице A на данную матрицу А как справа, так и слева, получается единичная матрица: A

Понятие о необходимом и достаточном условиях.

Любую теорему можно записать в виде: , где А-условие теоремы а B- её заключение. Высказывание В называется необходимым условием для А, а высказывание достаточным условием для В.

Если высказывания А и В таковы, что (каждое следует из другого), то говорят, что каждое из этих условий является необходимым и достаточным условием другого и пишут .

Необходимое и достаточное условие существования обратной матрицы.

Обратная матрица существует и единственна тогда и только тогда, когда исходная матрица является невырожденной.

Пример. Вычислить для матрицы А матрицу , пользуясь определением обратной матрицы.

Решение.

detA=18-20=-2. Следовательно обратная матрица существует.

Пусть , тогда, по определению обратной матрицы,

Таким образом, обратная матрица имеет вид:

Проверим выполнение условия А

Итак,

Свойства обратной матрицы.

Если detA 0 и detВ 0, то:

Вычисление обратной матрицы.

Пусть . Тогда где матрица С имеет вид:

Матрица С называется союзной или присоединённой по отношению к матрице А. Элемент матрицы с равен алгебраическому дополнению A_ji элемента исходной матрицы А,

Пример. Найти матрицу, обратную к матрице

Решение. det A=6-4=2

5. Ранг матрицы. Базисный минор.

Рассмотрим матрицу m x n Выделим из этой матрицы r строк и r столбцов. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют матрицу размерами rxr. Определитель полученной матрицы называется минором r-го порядка.

Определение . Рангом матрицы А называется целое число r, если у матрицы есть минор r-го порядка, от личный от нуля, а все миноры (r+1)-го порядка равны нулю. Минор r-го порядка называется базисным минором М_б. Ранг матрицы обозначается rangA=r.

Если существует элемент матрицы, отличный от нуля, то ранг матрицы не меньше 1. Если все элементы матрицы равны 0, то ранг матрицы равен 0. Если у квадратной матрицы основной определитель detA отличен от нуля, то rangA=n. У матрицы может быть несколько базисных миноров, но с одним и тем же рангом.

Столбцы и строки, на пересечении которых стоят элементы базисного минора, называются базисными столбцами (строками).

Любой столбец (строка) матрицы А является линейной комбинацией ее базисных столбцов (строк).

Ранг матрицы не меняется

- при перемене местами двух строк (столбцов)

- при умножении строки на число, не равное нулю

- при транспонировании

- при линейном преобразовании.

Поиск по сайту: