Свойства определителя n-го порядка

1) Если какая-либо строка (столбец) матрицы А состоит из одних нулей, то det A=0.

2) При перестановке двух строк (столбцов) матрицы её детерминант меняет знак на противоположный.

3) Если матрица А содержит 2 одинаковые строки (столбца), то det A=0.

4) Общий множитель любой строки (столбца) можно выносить за знак детерминанта.

5) Если элементы двух строк (столбцов) матрицы А пропорциональны, то det A = 0.

6) Линейность детерминанта. Если каждый элемент некоторой строки (столбца) детерминанта представлен в виде суммы двух слагаемых, то этот детерминант равен сумме двух детерминантов, в каждом из которых:

a) все строки (столбцы), за исключением указанной строки (столбца), совпадают с аналогичными строками (столбцами) детерминанта ;

b) на месте указанной строки (столбца) 1-ый детерминант содержит первые слагаемые, а 2-ой детерминант – второе слагаемое данной строки (столбца) детерминанта .

или

7) Детерминант матрицы не изменится, если к элементам какой-либо строки (столбца) прибавить элементы другой строки (столбца), предварительно умноженные на одно и то же число.

8) det A = det A .

9) Детерминанты треугольных и диагональной матриц равны произведению элементов главной диагонали.

Теорема Лапласа и использование свойств детерминанта лежат в основе так называемого метода накоплениянулей вычисления детерминанта.

Пример. Вычислить определитель

Решение:

3. Операции над матрицами.

Определение. Произведением матрицы на число называется матрица , элементы которой

Пример.

Матрица называется скалярнойматрицей.

Определение Суммой двухматриц A и В одинакового размера m´n называется матрица , элементы которой .

Пример.

Разностьдвухматриц одинакового размера mxn определяется через предыдущие операции: A – B = A + (-1)×B.

Пример.

Поиск по сайту: