|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Динамические характеристики линейных системПрежде чем изучать поведение реальных систем и их моделей, необходимо определить формальный язык, на котором будут обсуждаться их свойства. Основным элементом такого формального языка является понятие динамических характеристик, под которыми интуитивно понимают какие-либо соотношения, характеризующие свойства систем в статике и динамике (при изменении состояния). Дадим следующее определение. Динамической характеристикой (математической моделью) системы будем называть любое соотношение, заданное аналитически, графически или в виде таблицы, которое позволяет оценить ее поведение во времени. В этом разделе мы будем рассматривать различные способы описания линейных динамических систем, их взаимосвязь и приведение к принятой в теории автоматического управления форме записи математической модели. Отметим, что динамическая характеристика дает возможность исследовать поведение системы, т. е. рассчитать для нее переходные процессы.
Дифференциальные уравнения Наиболее часто в качестве математической модели объекта управления используются обыкновенные дифференциальные уравнения, которые могут быть записаны в различной форме. Линейные многоканальные объекты обычно описывают системой дифференциальных уравнений первого порядка, представленной в векторно-матричном виде: х = Ах + Ви (2.1.)
Здесь хЄ Rn - вектор состояния, п - порядок объекта; иЄ Rm -вектор управляющих воздействий, т≤п; А - квадратная матрица действительных коэффициентов; В - прямоугольная матрица действительных коэффициентов. Уравнения (2.1) называют дифференциальными уравнениями состояния. Выходные переменные объекта изменяются в соответствии с уравнением выхода У = Сх, (2.2) где yЄ Rm - вектор выхода; С - прямоугольная матрица действительных коэффициентов. Уравнения (2.1) и (2.2) описывают линейный многоканальный объект. Для описания одноканального объекта обычно используется скалярное дифференциальное уравнение: у(п) + апу﴾n-1) +... + а2у + а1у = bи, (2.3) которое также может быть приведено к виду (2.1) и (2.2) после соответствующего выбора линейно-независимых переменных состояния. Их число всегда равно порядку объекта (n), a uЄR1 и уЄ R1. Наиболее простое каноническое описание получается в случае, когда в качестве переменных состояния выбираются выходная переменная у и ее производные до (п -1) включительно
х1=у, х2=у,..., хn=у(n-1). При этом вместо (2.3) имеем систему уравнений
которая соответствует векторно-матричным уравнениям (2.1) и (2.2). Здесь матрицы А, В и С имеют вид
Выбрав соответствующие переменные состояния, от описания (2.5) также можно перейти к векторно-матричным уравнениям типа (2.1), (2.2). Рассмотрим этот переход на примере. Пример 2.2 Записать уравнения состояния объекта с математической моделью вида
Таким образом, в качестве основной динамической характеристики линейных объектов управления используются дифференциальные уравнения, которые могут быть представлены в форме (2.1), (2.2). В теории автоматического управления рассматриваются не физические системы управления, а их математические модели, поэтому необходимо стремиться к тому, чтобы эта модель достаточно адекватно отражала свойства реального устройства. Процедуру получения математической модели объекта можно разбить на следующие этапы: Составление гносеологической (мысленной) модели объекта. Исходя из технического задания и изучения режимов работы объекта инженер создает приближенную мысленную модель, которая в дальнейшем уточняется и приобретает вид математической модели. Определение независимых переменных, которые характеризуют объект, и уточнение их размерностей. При этом число управляющих воздействий не может быть меньше числа выходных переменных (dim u ≥dim у). Размерность вектора переменных состояния не может быть меньше размерности вектора выходных переменных (dim u ≥ dim y). Размерность возмущающих воздействий М может быть произвольной и никак не связана с размерностью у, х, и. Запись физических законов, в силу которых развиваются процессы в объекте. Приведение уравнений объекта к удобному с точки зрения теории автоматического управления виду. Математическая модель никогда не бывает, тождественна рассматриваемому объекту, так как при ее составлении всегда делают какие-либо допущения и упрощения. Поэтому для одной и той же системы в зависимости от целей управления модели могут быть различными. При составлении математической модели приходится искать компромиссный вариант между двумя противоречивыми требованиями: с одной стороны, модель должна наиболее полно отражать свойства реальной системы, с другой - быть простой, чтобы не затруднять исследований.
Перейдем к удобному с точки зрения теории управления описанию объекта. При этом выходной величиной будем считать напряжение на выходе цепи, т. е. y = U2, управляющим воздействием -напряжение на ее входе (u=U1), а переменной состояния- ток, протекающий по цепи (х=1). С учетом
Здесь ф - угол отклонения маятника (выходная переменная); U - прикладываемая управляющим двигателем сила (входная переменная); s - перемещение каретки; m1 - масса каретки; L - расстояние между осью и центром тяжести маятника; m2 - масса маятника; J - момент инерции относительно центра тяжести; g - ускорение силы тяжести; Н и V - горизонтальная и вертикальная силы реакции у оси маятника. Упрощенная модель объекта «каретка - маятник» может быть представлена системой дифференциальных уравнений [9]
Для аналитического определения переходной функции следует решить дифференциальное уравнение при нулевых начальных условиях и единичном входном воздействии. При исследовании реального объекта переходную характеристику можно получить экспериментальным путем, подавая на его вход ступенчатое воздействие и фиксируя реакцию на выходе. Если входное воздействие представляет собой неединичную ступенчатую функцию u(t)= к 1 (t), то выходная величина будет равна y(l) = k h(t), т. е. представляет собой переходную характеристику с коэффициентом пропорциональности k. Зная переходную характеристику, можно вычислить реакцию системы на произвольное входное воздействие с помощью интеграла свертки
y(t) = h(t)u(t) +∫ h(t - x)u(τ)dτ (2.6)
(τ- переменная интегрирования).
2.4. ИМПУЛЬСНАЯ ПЕРЕХОДНАЯ ФУНКЦИЯ Эта характеристика также используется для описания одноканальных объектов вида (2.5). Импульсная переходная функция (характеристика) g(t) представляет собой реакцию на входное воздействие типа единичной импульсной функции при нулевых начальных условиях (рис. 2.5). Такое входное воздействие математически отражает дельта-функция, которая обладает следующими свойствами:
С помощью дельта-функции можно описать реальное входное воздействие типа удара. В действительности импульсные входные воздействия на объект всегда конечны по уровню и продолжительности. Однако если их длительность намного меньше длительности переходных процессов, то с определенной точностью реальный импульс может быть заменен дельта-функцией с некоторым коэффициентом. Импульсная переходная функция позволяет вычислить реакцию системы на произвольное входное воздействие при нулевых начальных условиях по выражению
Если система имеет нулевые начальные условия х(0)=0, то выражение (2.14) принимает вид:
При небольших размерах или простой структуре матрицы объекта А выражение (2.18) может быть использовано для точного представления переходной матрицы с помощью элементарных функций. В случае большой размерности матрицы А следует использовать существующие программы для вычисления матричного экспоненциала.
2.6. ПЕРЕДАТОЧНАЯ ФУНКЦИЯ Наряду с обыкновенными дифференциальными уравнениями в теории автоматического управления используются различные их преобразования. Для линейных систем эти уравнения удобнее представлять в символической форме с применением так называемого оператора дифференцирования р=d/ dt что позволяет записывать дифференциальные уравнения как алгебраические и вводить новую динамическую характеристику -передаточную функцию. Этот способ был предложен английским ученым Хевисайдом в 1895 г., позднее он был строго обоснован аппаратом интегральных преобразований Лапласа и Карсона [4] в предположении нулевых начальных условий. Рассмотрим этот переход для многоканальных систем общего вида
Чаще всего передаточные функции применяются для описания одноканальных систем вида (2.5)
С использованием оператора дифференцирования р запишем уравнение (2.28) в символической форме и найдем передаточную функцию как отношение выходной величины к входной:
Передаточную матрицу (передаточную функцию) можно также определить с помощью изображений Лапласа или Карсона - Хеви-сайда. Если подвергнуть одному из этих преобразований обе части дифференциального уравнения и найти соотношения между входными и выходными величинами при нулевых начальных условиях, то получим ту же самую передаточную матрицу (2.24) или функцию (2.29). Все динамические характеристики объекта взаимосвязаны: получив одну из них, можно определить все остальные. Мы рассмотрели переход от дифференциальных уравнений к передаточным функциям с помощью оператора дифференцирования р. Используя этот оператор, несложно перейти от передаточной функции к символической форме записи дифференциального уравнения, а затем к стандартному описанию объекта в форме (2.3) или (2.5). Обсудим теперь взаимосвязь между переходными характеристиками и передаточной функцией. С этой целью запишем выражение для выходной переменной объекта через импульсную переходную функцию в соответствии с (2.8)
Определить передаточную функцию двигателя постоянного тока с независимым возбуждением (см. рис. 2.2). Дифференциальное уравнение двигателя получено в примере 2.4 и имеет вид
Будем полагать, что возмущающее воздействие отсутствует, т. е. М = 0. Запишем это уравнение в символической форме с помощью оператора дифференцирования р
или, рассматривая его как алгебраическое,
Определим теперь передаточную функцию двигателя постоянного тока с независимым возбуждением
Как видим, она не содержит нулей и имеет два полюса, которые в зависимости от численных значений параметров Тя и Гм могут быть вещественными или комплексно-сопряженными
2.7. МОДАЛЬНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ Модальные характеристики соответствуют свободной составляющей движения системы (2.1) или, другими словами, отражают свойства автономной системы (2.10)
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.011 сек.) |