Дифференциальное исчисление функции одной переменной

26. Понятие функции. Способы задания функции. Свойства функций. Обратная функция.

Пусть x, y ≠ 0. Функция – соответствие f, по которому любой x, принадлежащий множеству X сопоставлено единственному y, принадлежащему множеству Y. y = f(x)

Способы задания функции:

1) Аналитический

2) Табличный

3) Графический

4) Словесный

Свойства функции:

1) чётность/нечётность чётная (симметрична относительно Oy), если f(-x) = f(x);

нечётная (симметрична относительно начала координат), если f(-x) = -f(x)

2) Возрастание\убывание

3) Ограниченность. f(x) ограничена, если существует M > 0, такое, что f(x) < M (или f(x) > M, если ограничена снизу) при любом x.

4) Периодичность. Функция f(x) называется периодической с периодом T > 0, если f(x) = f (x + T), при любом x.

Пусть X – область определения, а Y – область значений функции f. Если для любого y из области значений существует единственный x, принадлежащий области определения, то говорят, что определена обратная функция к y = f(x) (f^-1)

Любая монотонная функция обладает обратной функцией.

Геометрический смысл: Функция и обратная к ней функция симметрична относительно y = x.

27. Основные элементарные функции и их графики.

1)

1) y = xⁿ, n > 1

2) y =

3) y = , n > 1

2) y = a^x

1) a >1

2) 0 < a < 1

3) y = log _a x

1) a > 1

2) 0 < a < 1

4) y = sin x, cos x, tg x, ctg x

5) y = arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x

6) y = e^x

28. Предел числовой последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые числовые последовательности. Свойства бесконечно малых.

Число а называется пределом числовой последовательности x_n, если любой E-определенности > 0 существует N, меньшее любой n => |x_n-a|< E-определённости, т.е. x_n принадлежит E -определенности.

Последовательность {α_n} называется бесконечно малой, если = 0

Последовательность {x_n} называется бесконечно большой, если { } – бесконечно малая

Свойства бесконечно малых:

1) α_n + _n – бесконечно малая

2) α_n * _n – бесконечно малая

3) α_n * с – бесконечно малая, c – действительное число

4) α_n * _n – бесконечно малая, x_n – ограниченная

29. Основные теоремы о пределах последовательностей.

1) Если предел последовательности существует, то он единственный

2) Сходящаяся последовательность ограничена.

Следствие: Если последовательность не ограничена, то она расходящаяся.

3) A = <=> x_n = A + α_n, где α_n - бесконечно малая.

4) Теорема о милиционерах: Пусть существует = a. Существует = a

α_n <= x_n <= _n, любое n.

Тогда = a

30. Первый и второй замечательные пределы. Число е.

Первый замечательный предел: α_{n –} бесконечно малая, то = 1

Второй замечательный предел: )ⁿ = e

Число «e» (2,718...) —иррациональное. Вычисляется с помощью следующего ряда:

Число e есть предел выражения

31. Предел функции. Основные теоремы о пределах функций.

Число A называется пределом функции f(x) в точке x = a (или при x -> a), если всякая окрестность > 0

A =

Теоремы:

1) Предел постоянной равен самой постоянной

2) Постоянный множитель можно выносить за знак предела: = k *

3) Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих функций: = ±

4) Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций:

= *

5) Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если только предел делителя не равен нулю: = , ≠ 0

32. Замечательные пределы для функций.

1) = 1

Доказательство: Из доказательства замечательного предела для последовательности имеем 1 ≤ cos α_n

1 ≥ ≥ cos x

По теореме о милиционерах в силу = 1 получаем = 1

2) = e

Доказательство: n = [x] – целая часть x. Рассмотрим случай x --> +∞, x > 0

n ≤ x < n + 1 => < ≤ => 1 + < 1 + ≤ 1 +

Возводим в степень n ≤ x < n + 1

< (1 + ≤

= =

= = (1 + ) = e * 1 = e

по теореме о милиционерах:

= e

Рассмотрим случай x --> -∞

= [t = -x] = = = = = * = e*1 = e

33. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые.

Сравнение бесконечно малых:

1. Если = А (А – действительное число ¹ 0), то α и ß называются бесконечно малыми одного порядка.

2. Если = 0, то α называется бесконечно малой более высокого порядка, чем ß.

3. Если = ∞, то α называется бесконечно малой более низкого порядка, чем ß.

4. Если не существует, то α и ß называются несравнимыми бесконечно малыми.

Функция f(x) называется бесконечно малой при x --> a, если = 0.

Если = 1, то α и ß называются эквивалентными бесконечно малыми (α ~ ß)

Теорема: Сумма бесконечно малых эквивалентна бесконечно малой более низкого порядка из этой суммы.

Таблица эквивалентных бесконечно малых:

1. sin x ~ х

2. tg x ~ х

3. arcsin х ~ х

4. arctg x ~ х

5. 1 - cos x ~ x²/2

6. е^х – 1 ~ х

7. α^х – 1 ~ х*ln(a)

8. ln(1+х) ~ х

9. log_a(l+х) ~ х•log_aе

10. (1+х)^k – 1 ~ k*х, k > 0

34. Непрерывные функции. Классификация точек разрыва.

Функция f(x) называется непрерывной в точке x_o, если:

1) f(x) определена в окрестность x_o

2) существует = f(x₀)

Замечание 1: условие 2 эквивалентно = f( )

Замечание 2: обозначим через ∆f (x_o) = f (x_o + ∆x) – f(x_o) приращение функции f(x) при приращении аргумента ∆x = x - x_o

Тогда определение 1 перепишется в виде: = 0

Точка x₀, в которой нарушается непрерывность, называется точкой разрыва.

Точка разрыва x₀ называется точкой разрыва 1-го рода функции f(x), если выполнено хотя-бы одно из условий:

1) Существует = A ₊ < ∞

Существует = A _- < ∞

A ₊ = A _- => точка устранимого разрыва

2) A ₊ ≠ A _- => x₀ точка конечного разрыва

Если хотя-бы один из пределов или не существует, или бесконечен, то точка x₀ называется точкой разрыва 2-го порядка.

35. Свойства непрерывных функций. Основные теоремы о непрерывных функциях.

Свойства функций, непрерывных в точке:

1) Сумма, разность и произведение двух функций, непрерывных в точке x = a, непрерывны в этой точке.

2) Если функция f(x) непрерывна при некотором значении x, то приращение функции бесконечно мало при бесконечно малом приращении аргумента.

Свойства функции, непрерывных на замкнутом промежутке:

1) Среди значений, которые принимает функция f(x) в точках незамкнутого промежутка (a,b), может не быть наибольшего или наименьшего.

2) Если m есть значение функции f(x) при x = a и n – значение f(x) при x=b, то функция f(x) принимает внутри промежутка (a,b) по крайней мере по одному разу всякое значение p, заключенное между m и n.

3) Если переменные x и x` изменяются так, что разность x – x` бесконечно малая, то разность f(x) – f (x`) тоже бесконечно малая.

Теоремы:

1) Если f(x), g(x) – непрерывны в x₀, то c*f(x), где c – действительное число, f(x) + g(x), f(x)*g(x), (g(x₀) ≠ 0), - непрерывные функции в x₀

Если y = f(u) – непрерывна в u₀, u = (x) – непрерывна в x₀, (x₀) = u_o, то композиция функции y = f( (x)) непрерывна в x_о

2) Все элементарные функции непрерывны в своей области определения

3) Функция, непрерывная на отрезке достигает своего минимума и максимума значений

4) Функция, непрерывная на отрезке принимает все промежуточные значения

f(a) = A, f(b) = B, A<B, f(x) – непрерывна на [a,b] =>любое c принадлежит [A,B] => существует x₀ принадлежит [a,b] f(x₀) = c

36. Определение производной, ее геометрический смысл.

Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки x_о и существует конечный предел отношения. Тогда этот предел называется производной функции в точке x_о

Тангенс угла наклона касательной (угловой коэффициент наклона касательной), проведенной к графику функции y = f(x) в точке x_o равен производной функции

y = f(x) в этой точке:

37. Дифференцируемость и непрерывность. Правила дифференцирования.

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x_o , если ее приращение Δy в точке x_o может быть представлено в виде: Δy = A*Δx + α(Δx) * Δx, где A - некоторое число, независящее от Δx, а α(Δx)-- бесконечно малая функция от переменной Δx, т.е. = 0.

Теорема
Для того, чтобы функция y=f(x) была дифференцируема в точке x_o, необходимо и достаточно, чтобы она в этой точке имела конечную производную.

Говорят, что функция f (x) является непрерывной в точке a (a – действительное число), если для любой последовательности {x_n}, такой, что

выполняется соотношение

Правила дифференцирования:

1) (c*f(x))` = c * f `(x)

2) (f(x) ± g(x))` = f `(x) ± g` (x)

3) (f(x) * g(x))` = f `(x) * g (x) + f (x) * g`(x)

4) )` =

38. Производная сложной функции, функции, заданной неявно, заданной параметрически, обратной функции.

Пусть y=f(u) – дифференцируема в u_o, u=g(x)- дифференцируема в x_o, u_o = g(x_o), тогда сложная функция y = f(g(x)) дифференцируема в x_o и y`= f `(g(x)*g`(x))

Функция задана неявно, если она задана уравнением f(x,y) = 0 не разрешённым относительно y.

Для нахождения производной y`<sub>x</sub> от неявно заданной функцией F(x,y) = 0 достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривать y, как функцию от x и полученное уравнение решить относительно y`.

Пусть x(t), y(t) – дифференц, ф x(t) имеет обратную функцию t = t(x). Тогда y` = y(t(x))

y`<sub>x</sub> = y`_t * t`_x =

Пусть функция имеет в точке производную . Тогда обратная функция имеет в соответствующей точке производную , которую можно отыскать по формуле

39. Производные основных элементарных функций.

40. Дифференциал. Формула df(x) = f `(x)dx.

Если приращение функции ∆f(x) = A*∆x + 0(∆x), где A=const, 0(∆x) – бесконечно малая, более высокого порядка, чем ∆x, то говорят, что f(x) имеет дифференциал в точке x и он равен главной линейной части приращения A*∆x.

Теорема: если f(x) дифференцируема в точке x, то df(x) = f `(x)dx

Доказательство:

∆f(x) = A*∆x + 0 (∆x)

= A +

f `(x) = = = A, т.е. A = f `(x)

df(x) = f `(x)*∆x

возьмём f(x)= x

dx = x`∆x = ∆x, т.е. ∆x = dx

df(x) = f `(x)dx

из формулы f `(x) =

41. Производные и дифференциалы высших порядков.

Производной n -го порядка от функции называется производная от производной (n - 1)-го порядка:

Производная второго порядка:

df(x) = f `(x)dx

d²f(x) = d (df(x)) = d(f `(x)dx) = (f `(x)dx)`dx = f ``(x)dx dx + f `(x)(dx)`dx = f ``(x)(dx)²

f ``f(x) = d(d^n-1 f(x))

Формула для вычисления дифференциала n–го порядка

42. Теорема Ферма. Теорема Ролля.

Теорема Ферма: Пусть f(x) непрерывная функция на [a,b], x_o принадлежит [a,b] – точка экстремума, существует f `(x<sub>o</sub>). Тогда f `(x_o) = 0

Доказательство: Пусть x_o – точка максимума => существует b > 0: f(x) ≤ f(x_o). Любой x принадлежит (x_o – b, x_o + b)

Если x принадлежит (x_o – b, x_o), то ∆x = x – x_o ≤ 0

= ≥ 0

Если x принадлежит (x_o; x_o + b), то ∆x ≥ 0

= ≤ 0

т.к. существует f `(x), то существует = f `(x_o) ≤ 0

существует = f `(x_o) ≥ 0

=> f `(x_o) = 0.

Теорема Ролля: Если f(x) – непрерывна на отрезке [a,b], f(a) = f(b), f(x) – дифференцируема на (a,b), то существует x_o, принадлежащий [a,b]: f `(x_o) = 0

Доказательство: т.к. f(x) – непрерывна на [a,b], то по теореме о непрерывных функциях существует максимальное M и минимальное m значение f(x). Если m=M, то f(x)=const. f `(x) = 0.

43. Теорема Лагранжа и следствия из нее. Теорема Коши.

Теорема Лагранжа: Если f(x) – непрерывна на [a,b], f(x) – дифференцируема на (a,b), то существует x_o, принадлежащий (a,b): f(b) – f(a) = f `(x_o)(b - a)

Следствие 1: Если f `(x) = 0 любой x, принадлежащий [a,b], то f(x) = const.

Следствие 2: Если для любого x, принадлежащего (a,b) значение производной > 0, то эта функция возрастает на интервале (a,b). Если значение производной < 0, то убывает.

Следствие 3: Пусть X - некоторый промежуток, и значения производной на этом промежутке ограничены числом C: |f `(x)| ≤ C. Тогда функция f(x) равномерно непрерывна на данном промежутке.

Теорема Коши: Если f(x), g(x) – непрерывны на [a,b]. f(x), g(x) дифференцируемы на (a,b) g`(x) ≠ 0, любой x принадлежит (a,b), то существует x_o, принадлежащее (a,b): =

44. Правило Лопиталя.

Раскрытие неопределённостей [ ],[ ] в пределах.

Теорема: Пусть g(x), f(x) – неопределённости на [a,b] и дифференцируемы на (a,b). Если выполнено одно из условий:

1) = = 0;

2) = = ∞, причём существует < ∞.

То существует

Замечание 1: Если f `(x) и g`(x) удовлетворяют условию теоремы Лопиталя, то можно повторно применить эту теорему.

Замечание 2: Теорема Лопиталя верна и для случая x --> ∞

45. Возрастание и убывание дифференцируемой функции. Необходимые и достаточные условия.

Поиск по сайту: