|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Дифференциальное исчисление функции одной переменной
26. Понятие функции. Способы задания функции. Свойства функций. Обратная функция.
Пусть x, y ≠ 0. Функция – соответствие f, по которому любой x, принадлежащий множеству X сопоставлено единственному y, принадлежащему множеству Y. y = f(x) Способы задания функции: 1) Аналитический 2) Табличный 3) Графический 4) Словесный
Свойства функции: 1) чётность/нечётность чётная (симметрична относительно Oy), если f(-x) = f(x); нечётная (симметрична относительно начала координат), если f(-x) = -f(x) 2) Возрастание\убывание 3) Ограниченность. f(x) ограничена, если существует M > 0, такое, что f(x) < M (или f(x) > M, если ограничена снизу) при любом x. 4) Периодичность. Функция f(x) называется периодической с периодом T > 0, если f(x) = f (x + T), при любом x.
Пусть X – область определения, а Y – область значений функции f. Если для любого y из области значений существует единственный x, принадлежащий области определения, то говорят, что определена обратная функция к y = f(x) (f-1) Любая монотонная функция обладает обратной функцией. Геометрический смысл: Функция и обратная к ней функция симметрична относительно y = x.
27. Основные элементарные функции и их графики. 1) 1) y = xn, n > 1
2) y = 3) y =
2) y = ax
1) a >1 2) 0 < a < 1
3) y = log a x
1) a > 1 2) 0 < a < 1 4) y = sin x, cos x, tg x, ctg x
5) y = arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x
6) y = ex
28. Предел числовой последовательности. Бесконечно большие и бесконечно малые числовые последовательности. Свойства бесконечно малых. Число а называется пределом числовой последовательности xn, если любой E-определенности > 0 существует N, меньшее любой n => |xn-a|< E-определённости, т.е. xn принадлежит E -определенности.
Последовательность {αn} называется бесконечно малой, если Последовательность {xn} называется бесконечно большой, если {
Свойства бесконечно малых: 1) αn + 2) αn * 3) αn * с – бесконечно малая, c – действительное число 4) αn *
29. Основные теоремы о пределах последовательностей. 1) Если предел последовательности существует, то он единственный 2) Сходящаяся последовательность ограничена. Следствие: Если последовательность не ограничена, то она расходящаяся. 3) A = 4) Теорема о милиционерах: Пусть существует αn <= xn <= Тогда
30. Первый и второй замечательные пределы. Число е. Первый замечательный предел: αn – бесконечно малая, то Второй замечательный предел:
Число «e» (2,718...) —иррациональное. Вычисляется с помощью следующего ряда: Число e есть предел выражения
31. Предел функции. Основные теоремы о пределах функций. Число A называется пределом функции f(x) в точке x = a (или при x -> a), если всякая окрестность > 0 A = Теоремы: 1) Предел постоянной равен самой постоянной 2) Постоянный множитель можно выносить за знак предела: 3) Предел суммы (разности) функций равен сумме (разности) пределов этих функций: 4) Предел произведения функций равен произведению пределов этих функций:
5) Предел отношения двух функций равен отношению пределов этих функций, если только предел делителя не равен нулю:
32. Замечательные пределы для функций. 1) Доказательство: Из доказательства замечательного предела для последовательности имеем 1 1 ≥ По теореме о милиционерах в силу
2) Доказательство: n = [x] – целая часть x. Рассмотрим случай x --> +∞, x > 0 n ≤ x < n + 1 => Возводим в степень n ≤ x < n + 1
по теореме о милиционерах:
Рассмотрим случай x --> -∞
33. Сравнение бесконечно малых. Эквивалентные бесконечно малые. Сравнение бесконечно малых: 1. Если 2. Если 3. Если 4. Если
Функция f(x) называется бесконечно малой при x --> a, если
Если Теорема: Сумма бесконечно малых эквивалентна бесконечно малой более низкого порядка из этой суммы.
Таблица эквивалентных бесконечно малых: 1. sin x ~ х 2. tg x ~ х 3. arcsin х ~ х 4. arctg x ~ х 5. 1 - cos x ~ x2/2 6. ех – 1 ~ х 7. αх – 1 ~ х*ln(a) 8. ln(1+х) ~ х 9. loga(l+х) ~ х•logaе 10. (1+х)k – 1 ~ k*х, k > 0
34. Непрерывные функции. Классификация точек разрыва. Функция f(x) называется непрерывной в точке xo, если: 1) f(x) определена в окрестность xo 2) существует Замечание 1: условие 2 эквивалентно Замечание 2: обозначим через ∆f (xo) = f (xo + ∆x) – f(xo) приращение функции f(x) при приращении аргумента ∆x = x - xo Тогда определение 1 перепишется в виде: Точка x0, в которой нарушается непрерывность, называется точкой разрыва.
Точка разрыва x0 называется точкой разрыва 1-го рода функции f(x), если выполнено хотя-бы одно из условий: 1) Существует Существует A + = A - => точка устранимого разрыва 2) A + ≠ A - => x0 точка конечного разрыва
Если хотя-бы один из пределов
35. Свойства непрерывных функций. Основные теоремы о непрерывных функциях. Свойства функций, непрерывных в точке: 1) Сумма, разность и произведение двух функций, непрерывных в точке x = a, непрерывны в этой точке. 2) Если функция f(x) непрерывна при некотором значении x, то приращение функции бесконечно мало при бесконечно малом приращении аргумента.
Свойства функции, непрерывных на замкнутом промежутке: 1) Среди значений, которые принимает функция f(x) в точках незамкнутого промежутка (a,b), может не быть наибольшего или наименьшего. 2) Если m есть значение функции f(x) при x = a и n – значение f(x) при x=b, то функция f(x) принимает внутри промежутка (a,b) по крайней мере по одному разу всякое значение p, заключенное между m и n. 3) Если переменные x и x` изменяются так, что разность x – x` бесконечно малая, то разность f(x) – f (x`) тоже бесконечно малая.
Теоремы: 1) Если f(x), g(x) – непрерывны в x0, то c*f(x), где c – действительное число, f(x) + g(x), f(x)*g(x), Если y = f(u) – непрерывна в u0, u = 2) Все элементарные функции непрерывны в своей области определения 3) Функция, непрерывная на отрезке достигает своего минимума и максимума значений 4) Функция, непрерывная на отрезке принимает все промежуточные значения f(a) = A, f(b) = B, A<B, f(x) – непрерывна на [a,b] =>любое c принадлежит [A,B] => существует x0 принадлежит [a,b] f(x0) = c
36. Определение производной, ее геометрический смысл. Пусть функция y = f (x) определена в некоторой окрестности точки xо и существует конечный предел отношения. Тогда этот предел называется производной функции в точке xо
Тангенс угла наклона касательной (угловой коэффициент наклона касательной), проведенной к графику функции y = f(x) в точке xo равен производной функции y = f(x) в этой точке:
37. Дифференцируемость и непрерывность. Правила дифференцирования. Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке xo , если ее приращение Δy в точке xo может быть представлено в виде: Δy = A*Δx + α(Δx) * Δx, где A - некоторое число, независящее от Δx, а α(Δx)-- бесконечно малая функция от переменной Δx, т.е. Теорема
Говорят, что функция f (x) является непрерывной в точке a (a – действительное число), если для любой последовательности {xn}, такой, что выполняется соотношение
Правила дифференцирования: 1) (c*f(x))` = c * f `(x) 2) (f(x) ± g(x))` = f `(x) ± g` (x) 3) (f(x) * g(x))` = f `(x) * g (x) + f (x) * g`(x) 4)
38. Производная сложной функции, функции, заданной неявно, заданной параметрически, обратной функции. Пусть y=f(u) – дифференцируема в uo, u=g(x)- дифференцируема в xo, uo = g(xo), тогда сложная функция y = f(g(x)) дифференцируема в xo и y`= f `(g(x)*g`(x))
Функция задана неявно, если она задана уравнением f(x,y) = 0 не разрешённым относительно y. Для нахождения производной y`x от неявно заданной функцией F(x,y) = 0 достаточно продифференцировать это уравнение по x, рассматривать y, как функцию от x и полученное уравнение решить относительно y`.
Пусть x(t), y(t) – дифференц, ф x(t) имеет обратную функцию t = t(x). Тогда y` = y(t(x)) y`x = y`t * t`x =
Пусть функция
39. Производные основных элементарных функций. 40. Дифференциал. Формула df(x) = f `(x)dx. Если приращение функции ∆f(x) = A*∆x + 0(∆x), где A=const, 0(∆x) – бесконечно малая, более высокого порядка, чем ∆x, то говорят, что f(x) имеет дифференциал в точке x и он равен главной линейной части приращения A*∆x.
Теорема: если f(x) дифференцируема в точке x, то df(x) = f `(x)dx Доказательство: ∆f(x) = A*∆x + 0 (∆x)
f `(x) = df(x) = f `(x)*∆x возьмём f(x)= x dx = x`∆x = ∆x, т.е. ∆x = dx df(x) = f `(x)dx из формулы f `(x) =
41. Производные и дифференциалы высших порядков. Производной n -го порядка от функции Производная второго порядка:
df(x) = f `(x)dx d2f(x) = d (df(x)) = d(f `(x)dx) = (f `(x)dx)`dx = f ``(x)dx dx + f `(x)(dx)`dx = f ``(x)(dx)2 f ``f(x) = d(dn-1 f(x)) Формула для вычисления дифференциала n–го порядка
42. Теорема Ферма. Теорема Ролля. Теорема Ферма: Пусть f(x) непрерывная функция на [a,b], xo принадлежит [a,b] – точка экстремума, существует f `(xo). Тогда f `(xo) = 0 Доказательство: Пусть xo – точка максимума => существует b > 0: f(x) ≤ f(xo). Любой x принадлежит (xo – b, xo + b) Если x принадлежит (xo – b, xo), то ∆x = x – xo ≤ 0
Если x принадлежит (xo; xo + b), то ∆x ≥ 0
т.к. существует f `(x), то существует существует => f `(xo) = 0.
Теорема Ролля: Если f(x) – непрерывна на отрезке [a,b], f(a) = f(b), f(x) – дифференцируема на (a,b), то существует xo, принадлежащий [a,b]: f `(xo) = 0 Доказательство: т.к. f(x) – непрерывна на [a,b], то по теореме о непрерывных функциях существует максимальное M и минимальное m значение f(x). Если m=M, то f(x)=const. f `(x) = 0. 43. Теорема Лагранжа и следствия из нее. Теорема Коши. Теорема Лагранжа: Если f(x) – непрерывна на [a,b], f(x) – дифференцируема на (a,b), то существует xo, принадлежащий (a,b): f(b) – f(a) = f `(xo)(b - a)
Следствие 1: Если f `(x) = 0 любой x, принадлежащий [a,b], то f(x) = const. Следствие 2: Если для любого x, принадлежащего (a,b) значение производной > 0, то эта функция возрастает на интервале (a,b). Если значение производной < 0, то убывает. Следствие 3: Пусть X - некоторый промежуток, и значения производной на этом промежутке ограничены числом C: |f `(x)| ≤ C. Тогда функция f(x) равномерно непрерывна на данном промежутке.
Теорема Коши: Если f(x), g(x) – непрерывны на [a,b]. f(x), g(x) дифференцируемы на (a,b) g`(x) ≠ 0, любой x принадлежит (a,b), то существует xo, принадлежащее (a,b): 44. Правило Лопиталя. Раскрытие неопределённостей [ Теорема: Пусть g(x), f(x) – неопределённости на [a,b] и дифференцируемы на (a,b). Если выполнено одно из условий: 1) 2) То существует
Замечание 1: Если f `(x) и g`(x) удовлетворяют условию теоремы Лопиталя, то можно повторно применить эту теорему. Замечание 2: Теорема Лопиталя верна и для случая x --> ∞ 45. Возрастание и убывание дифференцируемой функции. Необходимые и достаточные условия. Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.032 сек.) |