Достаточное

Если f(x) – дифференцируема на x и:

а) f `(x) > 0, x – принадлежит множеству X, то f(x) – возрастает;

б) f `(x) < 0, x – принадлежит множеству X, то f(x) - убывает

46. Экстремум дифференцируемой функции. Необходимые и достаточные условия.

Точка x_o называется точкой максимума (минимума) функции f(x), если существует b > 0

f (x_o) ≥ f(x)

любой x принадлежит промежутку (x_o – b, x_o + b)

Точка минимума: f(x_o) ≤ f(x)

Точки локального максимума и минимума называются точками экстремума.

Необходимое условие экстремума: Если функция y =f(x) в точке х₀ имеет экстремум, то производная f `(x ₀ ) = 0

1-ое достаточное условие экстремума: Пусть f(x) – дифференцируема на интервале X. Если f `(x) меняет знак при переходе через точку x_o, принадлежащей интервалу X

1) С “+” на “-”, то x_o – точка максимума.

2) С “-” на “+”, то x_o – точка минимума.

2-ое достаточное условие экстремума: Пусть f(x) – дважды дифференцируема x, f `(x_o) = 0. Если f ``(x<sub>o</sub>) > 0, то x<sub>o</sub> точка минимума, если f ``(x_o) < 0, то x_o – точка максимума.

47. Теорема (второе достаточное условие экстремума).

Пусть f(x) – дважды дифференцируема x, f `(x_o) = 0. Если f ``(x<sub>o</sub>) > 0, то x<sub>o</sub> точка минимума, если f ``(x_o) < 0, то x_o – точка максимума.

Доказательство: Так как f ``(x<sub>o</sub>) > 0, то существует окрестность (x<sub>o</sub> – b, x<sub>o</sub> + b), в которой f ``(x) > 0. По теореме о достаточном условии возрастании\убывании функции f `(x) возрастает в этой окрестности. Так как f `(x) = 0, то f `(x) < 0 любой x, принадлежащий промежутку (x<sub>o</sub> – b, x<sub>o</sub>) и f `(x) > 0 любой x, принадлежащий промежутку (x_o, x_o + b). По 1-ому достаточному условию экстремума x_o – точка минимума. Аналогично случай f ``(x) < 0.

48. Выпуклость функции. Необходимые и достаточные условия выпуклости. Точки перегиба.

Функция f(x) выпукла вниз на интервале X, если график f(x) расположен выше любой касательной в точке из X и f(x) выпукла вверх на X, если график расположен ниже любой касательной.

Точка перегиба - точка, в которой функция меняет выпуклость.

Необходимое условие выпуклости: Если f ``(x) > 0 на интервале X, то f(x) вогнута, если f ``(x) < 0, то f(x) выпукла.

Достаточные условия наличия перегиба:

1. Если f ``(x) меняет знак при переходе через точку x _o, то x_o - точка перегиба.

2. Если то при n четном x_o - точка перегиба, при n нечетном x_o не является точкой перегиба.

49. Асимптоты графика функций.

Асимптотой графика функции f(x) называется такая прямая, что расстояние от точки (x, f(x)) до этой прямой стремится к нулю при неограниченном удалении точки графика от начала координат.

1) Вертикальные асимптоты. Замечание: вертикальная асимптота x = x_o ищется среди точек разрыва 2-го рода.

y = x = 0 – вертикальная асимптота

y = x = 0 асимптота

y = x = 0 НЕ асимптота

2) Вертикальные асимптоты y = kx + b

Наклонная асимптота y = kx + b при k = 0 называется горизонтальной

50. Формула Тейлора для многочлена и произвольной функции. Формула Маклорена для основных элементарных функций ex, sin x, cos x, ln(1+x), (1+x)p, 1/(1-x).

Формула Тейлора для многочлена:

Формула Тейлора для произвольной функции:

Формулы Маклорена:

e^x = 1 + + 0(xⁿ)

sinx = x - 0 (x^{2n + 1})

cosx = 1 - + 0 (x²ⁿ)

lnx = + 0 (xⁿ)

(1 + x)^p = 1 + px + x² +... + xⁿ + 0(xⁿ)

= 1 + x + x² +... + xⁿ + 0(xⁿ)

Поиск по сайту: