АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Вычисление потенциальной энергии

Читайте также:
  1. А.) Значение Психической Энергии
  2. Автоматизированные системы контроля и учета электроэнергии (АСКУЭ).
  3. Аксиома о потенциальной опасности деятельности
  4. Активные потери энергии в аппаратах
  5. АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НА ЗАКОН СОХРАНЕНИЯ ЭНЕРГИИ
  6. Б) Вычисление тригонометрических функций.
  7. БОЛЕЗНЕТВОРНОЕ ДЕЙСТВИЕ ТЕПЛОВОЙ ЭНЕРГИИ. ПЕРЕГРЕВАНИЕ. ТЕПЛОВОЙ УДАР
  8. БРЕШЬ КАК СТРАТЕГИЯ ЭНЕРГИИ
  9. Брожение как основной способ получения энергии у бактерий.
  10. В ПРАКТИКЕ ПРОИЗВОДСТВА И ПОТРЕБЛЕНИЯ ЭЛЕКТРИЧЕСКОЙ И ТЕПЛОВОЙ ЭНЕРГИИ
  11. Внутренняя среда организма человека. Группы крови. Переливание крови. Иммунитет. Обмен веществ и превращение энергии в организме человека. Витамины
  12. Внутренняя энергия тела и способы её изменения. Изменение внутренней энергии тела при нагревании. Первое начало термодинамики. Обратимые и необратимые процессы.

При исследовании движения механической системы с потенциальными силами вместо сил часто используется потенциальная энергия. Она может быть вычислена путем интегрирования уравнения в полных дифференциалах:

Однако проще это сделать непосредственно, вычисляя работу силы.

Для этого сначала познакомимся с некоторыми новыми понятиями. Пусть потенциальная энергия силы, приложенной к точке М. Полагая

получаем уравнение поверхности в пространстве Oxyz, которая называется поверхностью уровня (рис. 46). Поверхность уровня обладает следующим свойством: при движении точки по поверхности уровня потенциальная сила не совершает работы, так как для любых двух точек, принадлежащих этой поверхности, имеем.

Рис. 46.

Придавая постоянной С различные значения, -получим семейство поверхностей (рис. 47). Все пространство оказывается как бы расслоенным поверхностями уровня. Выберем одну из них за поверхность нулевого уровня потенциальной энергии и подсчитаем работу, совершаемую потенциальной силой при перемещении точки М из данного положения в какую-либо точку, принадлежащую нулевой поверхности уровня (рис. 48).

Рис. 47.

Рис. 48.

Учитывая, что, получаем

Отсюда следует формула

Тем самым устанавливается следующее правило для вычисления потенциальной энергии: чтобы вычислить потенциальную энергию в данном положении точки, достаточно вычислить работу, совершаемую силой при перемещении точки М из этого положения в какую-либо точку, принадлежащую нулевой поверхности уровня потенциальной энергии (см. рис. 48).

Пример 1. Для математического маятника (рис. 49) поверхностями уровня служат горизонтальные прямые и т. д. Любая из них может быть принята за линию нулевого уровня потенциальной энергии. Примем в качестве таковой горизонталь, проходящую через точку подвеса О. Тогда для потенциальной энергии маятника получаем

Если за начало отсчета П принять горизонталь, проходящую через положение равновесия маятника (точку), потенциальная энергия будет иметь выражение

Пример 2. Пружинный маятник состоит из массы М, прикрепленной к неподвижной стенке при помощи пружины жесткости с, имеющей натуральную длину а (рис. 50).

Рис. 49.

Поверхностями уровня в данном случае являются точки оси. Приняв за начало отсчета потенциальной энергии ее значение в положении равновесия для потенциальной энергии маятника в данном положении, определяемом координатой, будем иметь

Если за нулевой уровень принять значение потенциальной энергии в некоторой точке с координатой, то будет равна работе упругой силы пружины при переходе тела из положения М в положение. При вычислении этой работы удобно воспользоваться свойством независимости работы потенциальной силы от формы пути и переход осуществить так: вначале из положения М перейти в начало координат, далее из начала координат — в положение (см. рис. 50). В каждом из указанных переходов одно из крайних положений соответствует недеформированной пружине, и работа может быть вычислена по формуле. На участке МО пружина разгружается, при этом совершается положительная работа. При переходе пружина нагружается, и работа упругой силы отрицательна:. В итоге для потенциальной энергии получаем

На материальную точку могут действовать несколько сил, обладающих потенциалом. Тогда можно говорить также о потенциальной энергии материальной точки, понимая под ней сумму потенциальных энергий, соответствующих каждой силе. Понятие потенциальной энергии естественным образом обобщается и на случай механической системы, где принимает смысл суммы потенциальных энергий всех потенциальных сил, действующих на систему.

Рис. 50.

Рис. 51.

При этом потенциальная энергия в общем случае будет зависеть от координат точек системы:

Пример 3. Вычислить потенциальную энергию системы, состоящей из ползуна и прикрепленного к нему математического маятника (рис. 51). Масса ползуна — маса маятника — жесткость пружины.

Выберем систему координат, как показано на рис. 51. Ось у проходит через точку подвеса маятника А в положении равновесия системы. Вычисляем потенциальную энергию сил тяжести, приняв за нулевой уровень потенциальной энергии ось:

Для потенциальной энергии пружины, которую отсчитываем от значения при недеформированной пружине, будем иметь

Потенциальная энергия всей системы определяется выражением


1 | 2 | 3 | 4 |

Поиск по сайту:



Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.)