Б) Вычисление тригонометрических функций

Значение тригонометрических функций можно вычислять с помощью рядов (2. - 3. § 9)

Эти ряды знакочередующиеся и сумма их не больше первого члена (см. §3).

Впервые эти формулы были получены Ньютоном. Они наиболее удобны для вычисления приближенных значений sin x и cos х при
| x | < 1 в силу быстрой сходимости данных рядов. Если же | х | ³ 1, то целесообразно использовать формулы приведения и свести задачу вычисления sin x или cos х для х Î . Более того, если нам известны значения этих функций до , то значения до могут быть найдены из равенств

Вычислим, например, cos 5^о с точностью до 10^{- 5}. Переведем градусы в радианы:

.

Следовательно, подставляя в ряд cos х, получаем:

,

отсюда, .

в) Вычисление значений радикалов.

Для вычисления значений радикалов (корней) очень удобна формула (биномиальный ряд 5. §9):

.

Вычислим с точностью до 0,0001.

Получаем: .

Поэтому имеем:

Получили знакочередующийся ряд.

Итак, с точностью до 10^{- 4} получаем:

.

Замечание. Можно дать формулу преобразования корня любой степени в общем виде.

Пусть требуется вычислить .

Подберем какое-либо не очень точное, но известное приближение

заданного корня, например, » с. Отсюда следует, что . Тогда, очевидно, справедливо равенство:

,

где a - некоторая малая величина.

Отсюда получаем:

.

Следовательно,

.

Разлагая теперь полученное выражение в биномиальный ряд, мы будем иметь приближенную формулу, причем любой точности.

Итак, получаем:

.

Например,

,

,

,

.

г) Показательные функции.