Вычисление пределов

Предел элементарной функции в точке области ее определения равен частному значению функции в этой точке: . Нарушение ограничений, накладываемых на функции при вычислении их пределов, приводят к неопределенностям вида: , , .

Элементарными приемами раскрытия неопределенностей являются: 1) сокращение на множитель, создающий неопределенность; 2) деление числителя и знаменателя на старшую степень аргумента (для отношения многочленов при ); 3) применение эквивалентных функций; 4) использование двух замечательных пределов:

а) ;

b) или .

С учетом использования эквивалентных бесконечно малых функций, можно привести другие формы записи выражения первого замечательного предела:

.

Для второго замечательного предела на практике целесообразно использовать соотношения:

1) ;

2) .

Пусть С - произвольная постоянная величина, и Тогда имеют место следующие соотношения:

1) ; 2) ;

3) ; 4) ;

5) ; 6) .

П р и м ер. Найти

Решение:

Подставляя вместо переменной ее предельное значение и используя свойства пределов, получим: .

Ответ: 3.

П р и м е р. Найти

Решение:

Непосредственная подстановка предельного значения переменной в выражение функции под знаком предела приводит к неопределенности вида . Преображаем функцию, разложив числитель и знаменатель на множители:

.

Найдем предел функции после преобразования:

.

Ответ:

П р и м е р. Найти .

Решение:

Непосредственная подстановка значения переменной в выражение функции под знаком предела приводит к неопределенности вида . Разделим числитель и знаменатель дроби на x ². Получим:

.

Но

Тогда .

Ответ: .

Можно показать, что предел отношения двух многочленов на бесконечности равен отношению коэффициентов старших членов, если в числителе и знаменателе будут многочлены одной степени. Этот же предел будет равен 0, если степень многочлена в числителе будет меньше степени многочлена в знаменателе, и будет равен , если степень многочлена в числителе будет выше степени многочлена в знаменателе.

П р и м е р. Найти .

Решение:

Непосредственная подстановка предельного значения переменной в выражении функции под знаком предела приводит к неопределенности вида . Преобразуем функцию следующим образом:

Найдем предел функции после преобразования:

.

П р и м е р. Найти .

Решение:

Непосредственная подстановка предельного значения в выражение функции под знаком предела приводит к неопределенности вида . Преобразуем функцию следующим образом: . Тогда .

Ответ: 50.

П р и м е р. Вычислить .

Решение:

Непосредственная подстановка предельного значения переменной в функцию под знаком предела приводит к неопределенности вида . Воспользуемся выражением второго замечательного предела в виде: .

Получим: .

Ответ: .

Можно получить более общее выражение для вычисления пределов такого типа: (справедливость этого соотношения доказать самостоятельно).

Поиск по сайту: