 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Ряды сходящиеся и расходящиеся
Рядом (бесконечным рядом) называется выражение 
, (1)
Где 
- произвольная бесконечная последовательность чисел (2)
Числа (2) называются членами ряда. Число ап, где п - не фиксировано - общим членом ряда.
Складывая последовательно члены ряда, получаем последовательность
(3)
которую называют последовательностью частичных сумм или последовательностью отрезков ряда.
Определение. Если существует конечный предел S последовательности частичных сумм (3), то его называют суммой ряда (1) и пишут
.
Ряд (1) в этом случае называют сходящимся.
Если последовательность частичных сумм (3) расходится, то и ряд (1) называется расходящимся и ему в этом случае не приписывают никакую сумму.
Например, суммируя бесконечную геометрическую прогрессию, получаем ряд
. (4)
При q ¹ 1 его частичная сумма примет вид:
.
При | q | < 1, получаем:
, (5)
следовательно, ряд (4) сходится. При | q | ³ 1, ряд (4) расходится.
Ряд 1+1+1+...+1+... расходится, так как 
.
Теорема 1. Если ряд (1) сходится, то его общий член стремится к нулю при п ® ¥.
Действительно, если ряд (2) сходится, то
,
следовательно,
.
Но легко убедиться в том, что стремление к нулю общего члена не обеспечивает сходимости ряда. Другими словами, этот важный необходимый признак сходимости ряда не является достаточным.
Гармонический ряд
расходится, но его общий член стремится к нулю, т. е.
.
Если в ряде (1) отбросить первые т членов, то получается ряд:
, (6)
называемый остатком ряда (1).
Теорема 2. Если сходится ряд (1), то сходится и любой его остаток (6). Обратно, из сходимости остатка (6) вытекает сходимость исходного ряда (1).
Если остаток ряда сходится, то его сумму будем обозначать rm.
Теорема 3. Если ряд (1) сходится, то сумма rm его остатка стремится к нулю при т ®¥.
Справедливы следующие основные свойства сходящихся рядов:
1о. Если члены сходящегося ряда (1) умножить на одно и то же число b, то его сходимость не нарушается, а сумма умножается на b.
2о. Два сходящихся ряда
можно почленно складывать или вычитать и при этом получаем сходящийся ряд, причем
Замечание. Нахождение общей формулы для п -ной частичной суммы ряда является сложной задачей. И только в некоторых случаях удается найти её. Поэтому вопрос о сходимости ряда приходится решать другим способом, например, используя признаки сходимости.
Задача 1: Доказать, что ряд са1 + са2 +…+ саn +… сходится, если только сходится ряд (1)
Решение: Пусть S n – частичная сумма ряда (1), а 
- частичная сумма исходного ряда. Имеем = са1 + са2 +…+ саn = с(
)=с S n, отсюда следует, что 
, т. е. исходный ряд сходится и его сумма 
.
Поиск по сайту: