 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Линейная зависимость векторов. Векторы называются линейно зависимыми, если выполняются условия: и
Векторы 
называются линейно зависимыми, если выполняются условия: 
и 
. В противном случае векторы называются линейно независимыми. Максимальное число линейно независимых векторов образует базис векторного пространства.
П р и м е р. Один базисный вектор определяет одномерное векторное пространство (числовая ось).
П р и м е р. Система из двух линейно независимых векторов определяет двумерное векторное пространство (плоскость) и т.д.
Геометрическую интерпретацию допускают векторные пространства, размерность которых не превышает трех.
Если векторы образуют базис векторного пространства, то любой другой вектор 
из этого пространства можно выразить через базисные векторы: = 
. При этом множители кi называются координатами вектора в базисе, образованным векторами . Базис векторного пространства образован системой из одного, двух и трех единичных взаимно перпендикулярных векторов, называется декартовым.
Декартов базис определяет известную из средней школы декартову прямоугольную систему координат. Единичные базисные векторы в декартовой системе координат называются ортами и обозначаются буквами i, j, k. Если вектор 
задан координатами точек А и В: А(х 1, у 1, z 1), В(х 2, у 2, z 2), то координаты вектора будут следующими: (х 2- х 1, у 2- у 1, z 2- z 1). При этом вектор можно представить:
=(х 2- х 1) i +(y 2- y 1) j +(z 2- z 1) k.
Если имеется равенство 
, то говорят что вектор является линейной комбинации векторов . При этом выполняется следующее свойство: координаты линейной комбинации векторов равны линейной комбинации соответствующих координат этих векторов.
Определение. Проекцией вектора 
на ось l называется величина, определяемая соотношением: 
, где φ - угол между осью l и вектором .
В декартовом прямоугольном базисе проекции вектора на оси координат можно отождествлять с координатами вектора в этом базисе.
Теорема. Если система некоторых векторов образует базис векторного пространства, то определитель, составленный из координат этих векторов, будет отличный от нуля.
Задача. Показать, что векторы (3;5) и (-2;3) образуют базис векторного пространства и найти координаты вектора 
(4;13) в этом базисе.
Решение:
Вычислим определитель, составленный из координат векторов и : 
. Поскольку Δ≠0, следовательно, векторы и образуют базис векторного пространства. Тогда вектор будет линейной комбинацией базисных векторов: = к 1 + к 2 . Запишем это векторное равенство в координатной форме:
Решая систему линейных уравнений, получим: к 1=2; к 2=1. Следовательно, 
или вектор имеет координаты 2 и 1 в базисе, образованном векторами и .
Ответ: 
.
Поиск по сайту: