Окружность

Определение. Окружностью называется геометрическое место точек плоскости, расстояние от каждой из которых, к фиксированной точке плоскости, является величиной постоянной.

Каноническое уравнение окружности с центром в точке С(а;в) и радиусом R имеет следующий вид:

.

Если центр окружности поместить в точку О (0;0), то уравнение окружности примет вид:

.

Задача. Найти основные характеристики окружности, уравнение которой имеет вид:

х ²+ у ²-4 х +2 у -4=0.

Решение:

Приведем уравнение окружности к каноническому виду:

(х -2)²-4+(у +1)²-1-4=0,

(х -2)²+(у +1)²=3².

Полученное уравнение является уравнением окружности с центром в точке С (2;-1) и радиусом R =3.

Ответ: С (2;-1), R =3.

Эллипс

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых, к двум фиксированным точкам плоскости, является величиной постоянной.

Основными характеристиками эллипса являются:

1) большая 2 а и малая 2 в оси или большая а и малая в полуоси;

2) вершины эллипса А (а;0), А ₁(- а;0), В (0; в), В ₁(0;- в);

3) фокальное расстояние 2 с (его половина);

4) фокусы F ₁(с;0) и F ₂(- с;0);

5) эксцентриситеты Е;

6) центр симметрии М(α;β).

Каноническое уравнение эллипса в этом случае имеет вид:

.

Если центр симметрии поместить в начало координат, то каноническое уравнение эллипса примет вид:

.

Эксцентриситет Е характеризует степень "деформации" степень его отличия от окружности и выражается следующим образом:

.

Для эллипса эксцентриситет Е всегда меньше единицы. Параметры а, в и с связаны соотношением:

в ²= а ²- с ².

Задача. Найти основные характеристики и построить эллипс, заданный уравнением:

4 х ²+9 у ²=36.

Решение:

Приведем уравнение эллипса к каноническому виду. Преобразуем уравнение, разделив его левую и правую часть на 36. Получим каноническое уравнение эллипса:

,

центр симметрии которого находится в точке О (0;0), а большая и малая полуось соответственно равны а =3 и в =2. Следовательно, вершинами эллипса будут точки А (3;0), А ₁(-3;0), В (0;2), В ₁(0;-2). Для определения фокусов эллипса воспользуемся соотношением: в ²= а ²- с ².

с ²= а ²- в ²,

с ²=9-4=5,

с = .

Фокусное расстояние будет равняться 2с= с = . Фокусы эллипса будут находиться в точках F ₁(;0) и F ₂(0; ). Найдем эксцентриситет эллипса: .

Построим эллипс.

у

В

А ₁ А х

В ₁

Поиск по сайту: