Окружность, эллипс, гипербола и парабола как алгебраические линии второго порядка

Общим уравнением второго порядка называется уравнение вида:

Ax²+2Bxy+Cy²+2Dx+2Ey+F=0

где коэффициенты A,B,C одновременно не равны нулю.
Линии, определяемые такими уравнениями, называются кривыми второго порядка.
Центром некоторой линии называется такая точка плоскости, по отношению к которой точки этой линии расположены симметрично парами.
Линии второго порядка, обладающие единственным центром, называются центральными.
Координаты центраS(x₀; y₀) линии определяются из системы:

Обозначим через .
При Δ≠0 кривая второго порядка будет центральной.
Причем, при Δ>0 уравнение является уравнением эллиптического типа. Каждое эллиптическое уравнение является уравнением либо обыкновенного эллипса, либо вырожденного эллипса (точка), либо мнимого эллипса (в этом случае уравнение не определяет на плоскости никакого геометрического образа).
При Δ<0 уравнение является уравнением гиперболического типа. Каждое гиперболическое уравнение определяет либо обыкновенную гиперболу, либо вырожденную (пару пересекающихся прямых).
При Δ=0 линия второго порядка не является центральной. Такие уравнения называются уравнениями параболического типа и определяют на плоскости либо обыкновенную параболу, либо пару параллельных (или совпадающих) прямых, либо не определяют на плоскости никакого геометрического образа
Классификация кривых второго порядка:

Эллипс

Окружность

Гипербола

Парабола

Оптические свойства кривых второго порядка:

Для эллипса: лучи света, исходящие из одного фокуса эллипса, после зеркального отражения от эллипса проходят через второй фокус.

Для гиперболы: продолжение отраженного луча света, исходящего из одного фокуса гиперболы, попадает во второй фокус.

Для параболы: лучи света, исходящие из фокуса параболы, после зеркального отражения от нее образуют пучок лучей, параллельных ее фокальной оси.

20. Геометрический вектор (длина вектора, нуль-вектор, равенство геометрических векторов, коллинеарность и компланарность). Координатные орты.

В геометрии вектором называется всякий направленный отрезок. Вектор- называется всякая величина, обладающая направлением. Вектор, началом которого служит точка А, а концом точка- В, обозначается АВ.

Длина вектора, также называется модулем. Модуль это скалярная величина, обозначается двумя вертикальными чертами.

Нуль-вектор - это вектор длина которого равна 0.

Равенство векторов - два(ненулевых)вектора а и b равны, если они равнонаправленные и имеют один и тот же модуль. Все нулевые векторы считаются равными. Во всех остальных случаях векторы не равны. Вектор можно переносить параллельно самому себе, а начало вектора помещать в любую точку О пространства. Равные векторы так же называют свободными.

Коллинеарные – векторы а иb называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых; записывают, а||b. Коллинеарные векторы могут быть направлены одинаково или противоположно. Нулевой вектор считается коллинеарным любому вектору.

Компланарные - три вектора в пространстве называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях. Если среди трех векторов, хотя бы один нулевой или два любые коллинеарные, то такие векторы компланарны.

Орт вектор - вектор, длина которого равна единице, называется единичным вектором и обозначается через ē. Единичный вектор, направление которого совпадает с направлением вектора а, называется ортом вектора а и обозначается а°.

Поиск по сайту: