Преобразование координат для прямоугольной системы координат

Получим формулы, связывающие координаты точки при переходе от одной прямоугольной системы координат к другой прямоугольной системе координат. Рассмотрим три типа преобразований:

а) параллельный перенос;

б) поворот системы координат;

в) зеркальное отражение в оси абсцисс (изменение направления оси ординат на противоположное).

Произвольный единичный (нормальный) вектор может быть записан следующим образом:

.

Единичный ортогональный (перпендикулярный) к вектор, который мы обозначим через , может соответствовать только либо углу , либо . Так как

, ,

, ,

то всевозможные ортонормированные системы , в определяются либо равенствами (рис. 35)

, (1')

соответствующими вращению осей около начала на угол и сохранению ориентации, либо равенствами (рис. 36)

(1'')

соответствующими вращению осей около начала на угол и изменению ориентации.

Оба преобразования объединяются в следующей формуле:

(1)

Рис. 35 Рис.36

где матрица преобразования

(2)

ортогональна (сумма квадратов элементов каждой из ее строк или столбцов равна 1, а скалярное произведение двух разных строк или столбцов равно 0).

Любое определенное ортогональное преобразование (1) есть на самом деле одно из преобразований (1'), (1") при некотором .

Из (1) в силу ортогональности матрицы (2) следует, что

(3)

и мы получили преобразование, обратное преобразованию (1), с матрицей

,

сопряженной к .

Зададим в плоскости произвольный вектор (точку) . Пусть он имеет в старой и новой системе координаты и . Тогда

. (4)

В силу формул (3) и (4)

.

Поэтому, приравнивая компоненты при одинаковых ортах , , получим

(5)

В силу же формул (1) и (4)

,

откуда, приравнивая компоненты при и , получим формулы, обратные к (5):

(6)

Если наряду с преобразованием (6) перенести еще начало осей , в точку , имеющую координаты , , то формулы (6) усложнятся, очевидно, следующим образом:

(7)

Итак, произвольное преобразование прямоугольных координат в прямоугольные координаты в точку выражается формулами (7), где матрица

ортогональная.

Соответствующее преобразование, сохраняющее ориентацию системы координат, имеет вид

(7')

и преобразование, меняющее ориентацию, имеет вид

(7'')

(матрицы коэффициентов при и в (7') и (7") соответственно транспонируют (1') и (1"))

7. Алгебраическая линия и её порядок. Теорема об инвариантности порядка

Напомним, что многочленом степени одной переменной называется выражение вида

где — действительные числа (коэффициенты многочлена), — старший коэффициент, — свободный член. Степень многочлена обозначается .

Многочленом двух переменных называется выражение вида

где — действительные числа (коэффициенты многочлена), и — целые неотрицательные числа. Число

называется степенью многочлена двух переменных.

Алгебраической линией на плоскости называется множество точек, которое в какой-либо аффинной системе координат может быть задано уравнением вида

где — многочлен двух переменных и .

Уравнение вида (3.4) называется алгебраическим уравнением с двумя неизвестными. Степенью уравнения (3.4) называется степень многочлена . Одна и та же линия может быть задана уравнением вида (3.4) с многочленами разных степеней. Порядком алгебраической линии называется наименьшая из степеней этих многочленов.

Всякую неалгебраическую линию называют трансцендентной.

Теорема об инвариантности порядка алгебраической линии

Если в некоторой аффинной системе координат на плоскости линия задана уравнением (3.4), то и в любой другой аффинной системе координат эта линия задается уравнением того же вида (3.4) и той оке степени.

Действительно, пусть в аффинной системе координат уравнение имеет вид (3.4):
Получим уравнение этой линии в другой (новой) аффинной системе координат . Старые координаты точки связаны с новыми ее координатами выражениями (2.8):

где — координаты вектора переноса начала координат , а — элементы матрицы перехода базиса к новому. Подставим эти выражения в одночлен :

Раскрывая скобки, получаем многочлен двух переменных , степень которого не больше, чем . Аналогичные многочлены получим из других одночленов, входящих в левую часть (3.4). Сложив эти многочлены, получим многочлен , степень которого не превосходит степени исходного многочлена . Таким образом, при замене системы координат порядок алгебраической линии не увеличивается. Но он не может и уменьшиться, так как если порядок уменьшится при переходе к новой системе координат, то он должен увеличиться при обратном переходе к старой системе координат. Следовательно, порядок алгебраической линии остается неизменным в любой аффинной системе координат (говорят, что порядок алгебраической линии является инвариантом). Теорема доказана.

В аналитической геометрии на плоскости изучаются:

– алгебраические линии первого порядка, описываемые алгебраическим уравнением первой степени с двумя неизвестными:

– алгебраические линии второго порядка, описываемые алгебраическим уравнением второй степени с двумя неизвестными:

Поиск по сайту: