Метод Гаусса

Рассмотрим систему линейных уравнений Метод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит из двух этапов, называемых прямым и обратным ходом. Прямой ход метода Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований над расширенной матрицей система приводится к «ступенчатому» виду.

Обратный ход метода Гаусса состоит в том, что, начиная с последнего уравнения ступенчатой системы, вычисляются неизвестные.

При реализации прямого хода метода Гаусса возможны следующие три случая.

1. В результате преобразований в системе уравнений будет получено уравнение вида где Ясно, что никакой набор действительных чисел этому уравнению удовлетворять не может, поэтому в таком случае система уравнений несовместна.

2. В результате преобразований получится ступенчатая система уравнений

в которой количество уравнений совпадает с количеством неизвестных.

В этом случае система уравнений является определённой.

В результате преобразований получится система уравнений ступенчатого вида, в которой количество неизвестных больше числа уравнений системы ( )

В этом случае те неизвестные, которые стоят на «ступеньках», называются главными неизвестными ( ), а другие неизвестные называются свободными ( ); система уравнений будет неопределённой. Тогда обратный ход метода Гаусса состоит в том, что начиная с последнего уравнения системы, главные неизвестные выражаются через свободные и составляется общее решение системы уравнений. Для того чтобы получить какое-либо частное решение системы, свободным неизвестным придают конкретные числовые значения, вычисляя тем самым главные неизвестные.

Поиск по сайту: