|
|||||||||||||||||||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Вопрос35. Предел Функции в точке и на бесконечности. Геометрическая иллюстрация определений. Предел постоянной. Предел суммы, частного, произведения. Предел элементарных функцийПонятие предела функции является одним из самых важных в математике. Дадим два определения этому понятию. Определение предела по Коши. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x) – A| < ε. Определение предела по Гейне. Число A называется пределом функции f (x) в точке a, если эта функция определена в некоторой окрестности точки a за исключением, быть может, самой точки a, и для любой последовательности
Если A – предел функции в точке a, то пишут, что
Определения предела функции по Коши и по Гейне эквивалентны.
Предел функции Если функция f (x) имеет предел в точке a, то этот предел единственный. Число A1 называется пределом функции f (x) слева в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех Число A2 называется пределом функции f (x) справа в точке a, если для каждого ε > 0 существует δ > 0 такое, что для всех Предел слева обозначается Если для каждого ε > 0 существует такая δ-окрестность точки a, что для всех x, удовлетворяющих условию |x – a| < δ, x ≠ a, выполняется неравенство |f (x)| > ε, то говорят, что функция f (x) имеет в точке a бесконечный предел:
Так, функция Если для каждого ε > 0 существует такое δ > 0, что для любого x > δ выполняется неравенство |f (x) – A| < ε, то говорят, что предел функции f (x) при x, стремящемся к плюс бесконечности, равен A:
Аналогично формулируется определение предела при x, стремящемся к минус бесконечности: Наконец, запись Если функция f (x) имеет конечный предел в точке a, то существует окрестность точки a, в которой функция f ограничена (возможно, что в самой точке a функция не определена). При этом, если A ≠ 0, то найдется окрестность точки a, в которой (быть может, за исключением самой точки a) значения функции f имеют тот же знак, что и число A. Если существует такое δ > 0, что для всех x, принадлежащих δ-окрестности точки a, выполняются неравенства
и если
то существует Если существует такое δ > 0, что для всех x, принадлежащих δ-окрестности точки a, справедливо неравенство
и если Если функции f (x) и g (x) имеют конечные пределы в точке a, причем
Из существования пределов f (x) в точке a и g (y) в точке f (a) следует существование предела сложной функции g (f (x)) в точке a. Для вычисления пределов часто используют так называемые замечательные пределы:
Доказательство
Другие важные пределы (при a > 0, a ≠ 1):
следуют из замечательных пределов и свойства предела обратной функции. Функция α (x) называется бесконечно малой при x → a (здесь a – конечное число или ∞), если Сумма конечного числа бесконечно малых при x → a функций есть бесконечно малая функция. Произведение бесконечно малой при x → a функции на ограниченную в некоторой окрестности точки a функцию есть бесконечно малая при x → a функция. Если в некоторой окрестности a определены функции f (x), g (x), h (x) такие, что f (x) = g (x) h (x),
Так, функции
При вычислении пределов функций можно использовать понятие эквивалентности. 1. Если последовательности 2. Если 3. Если 4. Если
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.) |