 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
Понятие линейного оператора. Матрица линейного оператора
Понятие линейного оператора. Матрица линейного оператора
2. Собственные векторы и собственные значения линейного оператора
Понятие линейного оператора. Матрица линейного оператора
Понятие линейного оператора – одно из фундаментальных понятий в матричной алгебре.
Рассмотрим два линейных пространства: 
размерности n и 
размерности m.
Определение. Если задан закон (правило), по которому каждому вектору х пространства ставится в соответствие единственный вектор y пространства , то говорят, что задан оператор (преобразование, отображение) 
, действующий из в , и записывают y= .
Оператор (преобразование) называется линейным, если для любых векторов x и y пространства и любого числа 
выполняются соотношения:
1. 
– свойство аддитивности оператора;
2. 
– свойство однородности.
Вектор y= называется образом вектора х, а сам вектор х – прообразом вектора y.
Если пространства и совпадают, то оператор 
отображает пространство в себя. Такие операторы мы и будем рассматривать.
Выберем в пространстве базис 
.
Каждому линейному оператору соответствует матрица 
в данном базисе. Справедливо и обратное: всякой матрице n-го порядка соответствует линейный оператор n-мерного пространства. Матрица называется матрицей оператора в базисе , а ранг r матрицы А – рангом оператора .
С помощью матрицы оператора для любого вектора х можно найти его образ – вектор y, используя матричное уравнение
y=Ax. (1)
Пример. Пусть в пространстве 
линейный оператор в базисе 
задан матрицей 
. Найти образ y= вектора 
.
Решение. По формуле (1) имеем
.
Таким образом, 
.
Действия над линейными операторами:
1. Суммой двух линейных операторов и 
называется оператор ( + ), определяемый равенством:
( + )(x)= + 
.
2. Произведением линейного оператора на число , называется оператор 
, определяемый равенством:
()(х)= ().
3. Произведением линейных операторов и называется оператор , определяемый равенством:
( )(х)= ( ( х)).
Определим нулевой оператор 
, переводящий все векторы пространства в нулевые векторы (х)=0, и тождественный оператор 
, действующий по правилу: (х)=х.
Поиск по сайту: