Собственные векторы и собственные значения линейного оператора

Особую роль в приложениях линейной алгебры играют векторы, которые под воздействием линейного оператора преобразуются в новые векторы, коллинеарные исходным. Такие векторы получили название собственных векторов оператора (матрицы А), а соответствующие им числа – собственных значений оператора (матрицы А).

Определение. Вектор называется собственным вектором линейного оператора (матрицы А), если найдется такое число ,что

или в матричном виде

или (1)

Число называется собственным значением (числом) оператора (матрицы А), соответствующим вектору х.

Множество всех собственных значений оператора (матрицы А) называется спектром линейного оператора (матрицы А).

Уравнение (1) однородно и для существования его ненулевого решения необходимо и достаточно, чтобы определитель системы равнялся нулю, т.е.

. (2)

Определитель называется характеристическим многочленом линейного оператора (матрицы А), а уравнение (2) – его (ее) характеристическим уравнением.

Пример. Найти собственные значения и собственные векторы линейного оператора , заданного матрицей .

Решение. 1) определяем собственные значения , составив характеристическое уравнение (2)

или

,

,

откуда собственные значения линейного оператора равны: .

2) находим собственные векторы, используя уравнение (1):

а) для :

,

,

.

Видно, что второе уравнение получается из первого умножением на 3/2, следовательно, одно уравнение можно вычеркнуть и система получается совместной неопределенной. Из первого уравнения получим:

.

Полагая , получим совокупность собственных векторов оператора с собственным значением .

б) для аналогично можно получить набор собственных векторов .

Свойства собственных значений матрицы А линейного оператора:

1. Произведение собственных значений матрицы А равно ее определителю:

.

2. Сумма собственных значений матрицы А равна следу [1] этой матрицы:

.

3. Число отличных от нуля собственных значений матрицы А равно ее рангу.

4. Все собственные значения матрицы отличны от нуля тогда и только тогда, когда матрица А невырожденная.

5. Если – собственное значение невырожденной матрицы, то – собственное значение обратной матрицы .

6. Если – собственное значение матрицы А, то – собственное значение матрицы , m – натуральное число.

Если базис линейного оператора составить из собственных векторов, то матрица оператора имеет наиболее простой вид и представляет собой диагональную матрицу

.

Верно и обратное: если матрица А линейного оператора в некотором базисе является диагональной, то все векторы этого базиса – собственные векторы оператора .

Можно доказать, что если линейный оператор имеет n попарно различных собственных значений, то отвечающие им собственные векторы линейно независимы, и матрица этого оператора в соответствующем базисе имеет диагональный вид.

[1] Следом квадратной матрицы А называется сумма ее диагональных элементов (обозначается trA).

Поиск по сайту: