|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Свойства собственных векторов и собственных значений1°. Все собственные векторы, принадлежащие одному и тому же собственному значению, вместе с нулевым вектором образуют линейное подпространство. Действительно, они получены как решения СЛОУ образуют линейное подпространство. 2°. Теорема 4. Если собственные векторы , принадлежат попарно различным собственным значениям, то они линейно независимы. Доказательство. (Методом математической индукции). – очевидно. Пусть верно для . Докажем для . Предположим противное. Пусть :
Пусть . Подействуем на это равенство. Имеем, . Умножив (6) на , вычитая из последнего равенства, имеем . Т.е., получили, что вектор линейно зависимы. Получили противоречие. ■ 3°. Если и – матрицы линейного преобразования в различных базисах, то характеристические многочлены этих матриц совпадают. Действительно, .
Выпишем вид характеристического многочлена: , где – след матрицы .
4°. Известно, что у характеристического многочлена могут быть простые корни, т.е. кратности 1, а могут быть кратные корни. Теорема 4. Пусть – корень характеристического многочлена кратности . Тогда, ему соответствует не более линейно независимых собственных векторов. Доказательство: Пусть имеется линейно независимых собственных векторов, соответствующих : . Дополним их до базиса в : . В этом базисе матрица имеет вид , где – матрица размера . Составим матрицу и вычислим для нее определитель. Раскладывая его по первым столбцам, получаем: . По определению кратности, . ■ Замечание. Характеристическому значению кратности могут соответствовать меньше, чем линейно независимых собственных векторов: например, , . Один независимый собственный вектор. 5°. Линейное преобразование имеет собственное значение равное нулю оно не является взаимно однозначным. Доказательство: . Если и обратно. ■ 7°. О приведении матрицы преобразования к диагональному виду. Утверждение 8. Матрица линейного преобразования в базисе имеет диагональный вид все векторы базиса – собственные векторы преобразования. Доказательство: Действительно, если – собственный, то –ый элемент столбца , равен , а остальные равны нулю. Обратно, аналогично. ■ Утверждение 9. Если преобразование имеет n попарно различных собственных значений, то существует базис из собственных векторов этого преобразования. Доказательство: Следует из теоремы 4. Может оказаться, что собственное значение имеет кратность , но не существует линейно независимых собственных векторов.
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.) |