АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Линейные преобразования векторных пространств

Читайте также:
  1. A) линейные
  2. I.3 СК В ПРОСТРАНСТВЕ
  3. II. Элементарные преобразования. Эквивалентные матрицы.
  4. III ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПРИ ПОЛОВОМ СОЗРЕВАНИИ
  5. V2: ДЕ 11 - Векторные пространства. Линейные операции над векторами
  6. V2: ДЕ 14 – Векторные пространства. Коллинеарность векторов.
  7. V2: ДЕ 4 – Линейные отображения. Линейные операции над матрицами
  8. V2: ДЕ 5 - Линейные отображения. Умножение матриц
  9. V2: ДЕ 6 - Линейные отображения. Определители второго порядка
  10. X. ПРОИСХОЖДЕНИЕ КОСМИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ
  11. Абстрактные линейные системы
  12. Адыгея в Политико-экономическом пространстве России. Особенности проведения экономической реформы в республике.

1°. Основное определение.

Ранее рассматривали функции, т.е. правила, по которым ставилось в соответствие число. Теперь обобщим это понятие.

Определение 1. Пусть – –мерному векторному пространству поставлен в соответствие (тому же пространству). Соответствие назовём преобразованием пространства .

Преобразование называется линейным, если

1)

2)

Примеры:

1. Пусть – подпространство в трехмерном пространстве . соответствующему поставим в соответствие его проекцию на : . Это линейное преобразование, свойства 1, 2 – легко проверяются.

2. Пусть – матрица , – пространство – чисел . . Это линейное преобразование.

3. – пространство многочленов степени . Пусть – т.е. производная многочлена. Линейность – очевидна.

4. , – линейность из свойств интеграла.

Это пример преобразования в бесконечномерном пространстве. Далее – лишь конечномерные.

2°. Матрица линейного преобразования.

Пусть – базис в и – линейное преобразование. Каждый . Векторы не зависят от и они могут быть разложены по базису : , т.е. если , где

. (1)

Определение 2. Матрицей линейного преобразования в базисе называется матрица (1), столбцы которой – координаты образов векторов в базисе .

Утверждение 1. Выбор базиса в устанавливает взаимно однозначное соответствие между линейными преобразованиями этого пространства и квадратными матрицами порядка .

Доказательство: Итак, показано, что если выбран базис, то любому преобразованию соответствует матрица (1). В соответствии с примером 2 из пункта 1, любой матрице соответствует линейное преобразование. Осталось проверить, что разным матрицам соответствуют разные преобразования. Пусть и – разные преобразования, т.е. . Если они имеют одну и ту же матрицу , то для имеем: ,то противоречит.

При изменении базиса матрица линейного преобразования, вообще говоря, изменяется.

Примеры:

1. Пусть – трёхмерное пространство с базисом , а – оператор проектирования на плоскость . Тогда матрица .

2. Если – тождественное преобразование, то

3. – многочлены степени . .

Базис : .

Тогда .

Таким образом, матрица .

Рассмотрим формулы преобразования при переходе к другому базису. Пусть . Пусть .

 

 


1 | 2 | 3 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.847 сек.)