|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Линейные преобразования векторных пространств1°. Основное определение. Ранее рассматривали функции, т.е. правила, по которым ставилось в соответствие число. Теперь обобщим это понятие. Определение 1. Пусть – –мерному векторному пространству поставлен в соответствие (тому же пространству). Соответствие назовём преобразованием пространства . Преобразование называется линейным, если 1) 2) Примеры: 1. Пусть – подпространство в трехмерном пространстве . соответствующему поставим в соответствие его проекцию на : . Это линейное преобразование, свойства 1, 2 – легко проверяются. 2. Пусть – матрица , – пространство – чисел . . Это линейное преобразование. 3. – пространство многочленов степени . Пусть – т.е. производная многочлена. Линейность – очевидна. 4. , – линейность из свойств интеграла. Это пример преобразования в бесконечномерном пространстве. Далее – лишь конечномерные. 2°. Матрица линейного преобразования. Пусть – базис в и – линейное преобразование. Каждый . Векторы не зависят от и они могут быть разложены по базису : , т.е. если , где
Определение 2. Матрицей линейного преобразования в базисе называется матрица (1), столбцы которой – координаты образов векторов в базисе . Утверждение 1. Выбор базиса в устанавливает взаимно однозначное соответствие между линейными преобразованиями этого пространства и квадратными матрицами порядка . Доказательство: Итак, показано, что если выбран базис, то любому преобразованию соответствует матрица (1). В соответствии с примером 2 из пункта 1, любой матрице соответствует линейное преобразование. Осталось проверить, что разным матрицам соответствуют разные преобразования. Пусть и – разные преобразования, т.е. . Если они имеют одну и ту же матрицу , то для имеем: ,то противоречит. При изменении базиса матрица линейного преобразования, вообще говоря, изменяется. Примеры: 1. Пусть – трёхмерное пространство с базисом , а – оператор проектирования на плоскость . Тогда матрица . 2. Если – тождественное преобразование, то 3. – многочлены степени . . Базис : . Тогда . Таким образом, матрица . Рассмотрим формулы преобразования при переходе к другому базису. Пусть . Пусть .
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.004 сек.) |