ГЛАВА 2. Интересные свойства замечательных чисел

Некоторым людям кажется, что натуральный ряд чисел скучен и однообразен и что о нем все уже известно, все сказано. Эти люди глубоко ошибаются. Уже в Древней Греции математики заметили многие интереснейшие свойства чисел этого ряда. Иногда эти свойства присущи отдельным числам, но чаще всего целым группам чисел. Одни из этих свойств просто любопытны, другие – имеют научное значение.

А разве интересны только те свойства, что заметили греки? Кроме них есть сотни и тысячи свойств. И свойства эти одно удивительнее другого.

Пример 1. Свойство чисел 135 и 144.

135 = (1+3+5) ∙ 1 ∙ 3 ∙ 5, 144 = (1+4+4) ∙1 ∙ 4 ∙ 4.

Свойство: Числа равны произведению своих цифр на сумму этих цифр.

Пример 2. Свойства «обыкновенного» числа 37.

Свойство 1. 37 ∙ 3 = 111, 37∙ 6 = 222, 37∙ 9 = 333, 37∙12 = 444, 37∙15 = 555, 37 ∙ 18 = 666, 37 ∙ 21 = 777, 37 ∙ 24 = 888, 37 ∙ 27 = 999.

Свойство 2. 37 ∙ (3+7) = + ,

Свойство 3. (3² + 7²) – 3 ∙ 7 = 37.

Свойство 4. Возьмем любое трехзначное число, кратное 37. Пусть это будет 185 и сделаем в нем круговую перестановку его цифр (последнюю цифру поставим на первое место, не измени в порядок остальных цифр), т. е. получим 518, сделаем еще круговую перестановку – получим 851. Оба получившихся числа тоже делятся на 37. 518: 37 = 14, 851: 37 = 23.

Эти примеры в древней Греции не были известны, так как подобные свойства основаны на нашей десятеричной системе, грекам не знакомой.

Пример 3. Свойство числа 41. Если в любом пятизначном числе, кратном 41, провести всевозможные круговые перестановки цифр, то все получившиеся таким образом числа будут также кратны 41.

Например: 24 026 = 586 ∙ 41. Убедимся, что получившиеся при перестановках числа 62 402, 26 240, 40 262 тоже кратны 41.

62 402:41 = 26 240:41 = 40 262:41 =

Пример 4. А разве неудивительно, что сумма любого количества последовательных натуральных чисел, начиная с единицы, всегда дает точный квадрат.

1 + 3 = 4 + 2², 1 + 3 + 5 = 9 = 3², 1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 4² и т. д.

Докажем в общем виде: Очевидно, что нечетные числа составляют последовательность: 1, 3, 5, … Последовательные нечетные числа можно записать в виде (2n + 1). Удвоенная сумма первых членов этой последовательности равна (1 + 2n + 1) + (3 + 2n - 1) + (5 + 2n – 3) + (2n + 1 + 1), т. е. 2n + 1 слагаемых, каждое из которых равно 2n + 2.

Поэтому = = = (n + 1)².

Пример 5. Сумма кубов натурального ряда чисел, начиная с одного, равна квадрату суммы этих чисел.

1³+2³ = 1 + 8 = 9 =(1 + 2)², 1³ + 2³ + 3³ = 1 + 8 + 27 = 36 = (1 + 2 + 3)² и т. д.

Поиск по сайту: