Элементарные преобразования и их матрицы

Рассмотрим примеры элементарных операторов ,которые мы будем называть элементарными преобразованиями пространства R ,и построим их матрицы в канонических базисах.

1.Зафиксируем пару целых чисел 0<i,j и рассмотрим линейный оператор ,действующий по правилу .Легко видеть, что его матрица будет выглядеть так где — два различных номера в пределах от 1 до п, все элементы на главной диагонали равны единице, кроме двух указанных, которые равны нулю, вне главной диагонали имеются только два (указанных) ненулевых элемента.

2. Зафиксируем пару целых чисел , — ненулевой скаляр и рассмотрим линейный оператор ,действующий по правилу , Легко видеть, что его матрица будет выглядеть так:

все элементы на главной диагонали, кроме указанного, равны единице, вне диагонали все эле­менты равны нулю.

3. Зафиксируем тройку чисел: — два различных номера в пределах от 1 до п, а — произвольный скаляр и рассмотрим линейный оператор ,действующий по правилу .Легко видеть, что его матрица будет следующего вида:

где снова — два различных номера в пределах от 1 до п, а — произвольный скаляр, он располагается на пересечении строки и столбца, вне главной диагонали нет других ненулевых элемен­тов, а на главной диагонали стоят только единицы.

Замечание 1. Э лементарные мат­рицы изображены так, как будто Но на самом деле это не обязательно

Возьмем теперь произвольный вектор и подействуем на него элементарными операторами.Тогда координаты его образов получатся умножением слева элементарных матриц трех описанных выше типов на х:

.

При умножении (слева) элементарных матриц на произвольный вектор-столбец происходят следующие преобразования над элементами этого стол­бца: матрица переставляет и компоненты столбца; мат­рица оставляет все компоненты столбца неизменными, кроме к которой прибавляется компонента, домноженная на число матрица оставляет все компоненты вектора неизменными, кроме которая умножается на (ненулевое) число

Обозначим через транспонированную к вектор-строку.Пространство таких векторов-строк будем обозначать как и называть сопряженным к R . А теперь возьмем произвольную строку и умножим ее справа на элементарные матрицы. Мы увидим, что при умножении на матрицу типа произойдет перестановка двух компонент строки, при умножении на матрицу к компоненте строки добавится компонента, домноженная на (именно так, в отличие от случая столбцов), умножение на матрицу даст результат, аналогичный результату для столбцов.

Итак, мы приходим к выводу, что элементарные матрицы типов связаны с элементарными преобразованиями соответствую­щих типов. Точнее, справедливо следующее предложение, относя­щееся к произвольным (прямоугольным) матрицам.

Предложение 14.2. Пусть А

1.Умножение матрицы А(mxn) слева на элементарную -матрицу равносильно выполнению над строками А элементарного преоб­разования типа .

Умножение А справа на аналогичную матрицу (но уже размера равносильно преобразованию над столбцами А.

2.Умножение матрицы А слева на элементарную -матрицу
равносильно выполнению над строками А элементарного преобразования типа

Умножение матрицы А справа на аналогичную элементарную
-матрицу равносильно выполнению над столбцами А элементарного преобразования типа .

3.Умножение матрицы А слева на элементарную -мат­
рицу равносильновыполнению над строками А элементарного преоб­разования типа

Умножение матрицы А справа на аналогичную -матрицу равносильно выполнению над над столбцами А элементарного преоб­разования

Доказательство немедленно следует из сделанных выше наблю­дений и того факта, что при умножении матрицы А слева на какую-либо матрицу В (подходящих размеров) каждый столбец матрицы А по отдельности умножается слева на В (соответственно при умноже­нии А справа на матрицу С, подходящих размеров, каждая строка А по отдельности умножается на С).

Доказательство немедленно следует из сделанных выше наблю­дений и того факта, что при умножении матрицы А слева на какую-либо матрицу В (подходящих размеров) каждый столбец матрицы А по отдельности умножается слева на В (соответственно при умноже­нии А справа на матрицу С, подходящих размеров, каждая строка А по отдельности умножается на С).

Поиск по сайту: