Действие оператора на координаты вектора

Возьмем произвольный вектор в -мерном линейном пространстве с базисом , , …, . Введем в этом пространстве линейный оператор и подействуем им на вектор . Получим новый вектор из этого пространства: . Разложим оба эти вектора по координатному базису:

, .

Представляет интерес связь координат векторов и , т.е. как оператор, действуя на вектор, преобразует его координаты?

.

Следовательно,

(). (4.2)

Если вектор изображать символически в виде матрицы-столбца:

; ;

То равенство (4.2) можно записать в виде матричного умножения:

.

Примеры:

1) Нулевой оператор: .

Ему соответствует нулевая матрица .

2) Единичный оператор .

. .

3) В -мерном арифметическом пространстве с базисом , , …, рассмотрим оператор проектирования на векторы , , …, : .

Соответствующую матрицу можно найти, опираясь на соотношение (4.2):

.

Действительно, координаты вектора образуют -й столбец этой матрицы:

,

,

.

4) Рассмотрим двумерное пространство свободных векторов с базисом , и оператор вращения вектора против часовой стрелки на угол . Он задан действием на базисные векторы:

Найдем матрицу оператора , которая образована столбцами из координат первого и второго векторов:

.

5) Рассмотрим пространство всех многочленов степени с базисом и действующий в нем оператор дифференцирования . Рассмотрим действие этого оператора на базисные векторы:

,

,

,

,

…………………………………………...,

.

.

Поиск по сайту: