Метод областей

3. Решите уравнение .

Решение. На плоскости построим множество точек, удовлетворяющих исходному уравнению.

Для построения множества точек проделаем следующее.

1. Приравняем нулю выражения, стоящие под знаком модуля: и . Откуда следует: и .

На плоскости построим прямые и . Эти прямые разобьют плоскость на 4 области.

2. Рассмотрим исходное уравнение в каждой области. Для этого надо раскрыть модули в каждой области.

Замечание. При раскрытии модулей надо учитывать знак выражения, стоящего под модулем в соответствующей области. Так как знак в каждой области постоянный, то знак выражения в области совпадает со знаком выражения в любой точке этой области.

1) В области I исходное уравнение равносильно системе

В области I строим часть прямой , которая параллельна прямой и пересекает прямую в точке А (–1; 3,5).

2) В области II исходное уравнение равносильно системе

В области II строим часть прямой , которая параллельна оси абсцисс и пересекает прямые и соответственно в точках А (–1; 3,5) и В (–3,5; 3,5).

3) В области III исходное уравнение равносильно системе

В области III строим часть прямой , которая параллельна оси ординат и пересекает прямую в точке В (–3,5; 3,5).

4) В области IV исходное уравнение равносильно системе

Ни одна точка не удовлетворяет последней системе.

График исходного уравнения изображён на рисунке 9 (графиком исходного уравнения является совокупность части прямых: , , ). Для того чтобы найти решения исходного уравнения при каждом значении параметра , надо провести прямые (если прямая пересекает график исходного уравнения в n точках,тоисходное уравнение при имеет n решений) и найти абсциссы точек пересечения графиков исходного уравнения и прямой . Из рисунка 9 следует ответ.

Ответ. При уравнение не имеет решений; при решением уравнении являются (уравнение имеет бесконечное множество решений); при уравнение имеет два решения ,

4. Сколько решений в зависимости от параметра а имеетуравнение на отрезке ?

Метод интервалов.

Решение. 1. Если то уравнение на отрезке не имеет решений, так как оно принимает вид

2. Пусть

Имеем .

Замечание. Если пара удовлетворяет уравнению, то и пара также удовлетворяет этому уравнению.

Из замечания и 1. следует: уравнение надо рассмотреть при

Если , то исходное уравнение равносильно уравнению

, где и (4.1)

Раскрывая модули, на отрезке заменим уравнение (4.1) равносильной совокупностью уравнений

2) Рассмотрим первое уравнение совокупности (4.2), если

Так как то , а тогда

Решением уравнения (4.1), а значит и исходного уравнения, на отрезке является , если

Итак, если , то является решением уравнения (4.1), а значит и исходного уравнения на отрезке .

3) Рассмотрим второе уравнение совокупности (4.2), если

а) Если то легко проверить, что уравнение , а значит и исходное уравнение, не имеет решений.

б) Пусть Тогда

Решением уравнения (4.1), а значит и исходного уравнения, на

промежутке при является , если

Итак, если , то является решением уравнения (4.1), а значит и исходного уравнения на промежутке .

Из 1. и 2. с учётом замечания следует ответ.

Ответ. Если , то нет решений; если , то одно решение; если , то два решения.

Метод областей.

Решение. На плоскости построим множество точек, удовлетворяющих уравнению

, где и (4.3).

Уравнение (4.3) равносильно совокупности (см. первый метод)

(4.2)

Легко проверить, что не удовлетворяет исходному уравнению. Поэтому рассмотрим первое уравнение совокупности (4.2) при . Имеем

На отрезке строим часть гиперболы , асимптотой которой является прямая . Гипербола пересекает прямую в точке А .2. Второе уравнение совокупности (4.2) равносильно системе

На промежутке строим часть гиперболы , асимптотой которой является прямая . Гипербола пересекает пря-

мую в точке В .

График уравнения (4.3) изображён на рисунке 10.

Из рисунка 10 для и замечания следует ответ.

Ответ. Если , то нет решений; если , то одно решение; если , то два решения.

Графический метод.

Решение. Если , то исходное уравнение равносильно уравнению (4.3)

Рассмотрим функции , где и .

1. Графиком функции , где , является часть прямой, проходящей через точки А (–3; 2) и В (5; 10).

2. Графиком семейства функций является «подвижный уголок» с неподвижной вершиной в точке С (–1; 0) и подвижными сторонами

3. Найдём при каких значениях параметра а график функции проходит через точку А (–3; 2) и определим сколько решений имеет исходное уравнение в этом случае.

а) График функции проходит через точку А (–3; 2), если

б) Если , то функция принимает вид и на отрезке имеем

в) Так как прямая параллельна прямой , а прямая пересекает прямую в точке А (–3; 2), то график функции на отрезке пересекает прямую в одной точке А (–3; 2) (рис.11). Тогда исходное уравнение при имеет единственное решение.

4. Найдём при каких значениях параметра а график функции

проходит через точку В (5; 10) и определим сколько решений имеет исходное уравнение в этом случае.

а) График функции проходит через точку В (5; 10), если

б) Если , то функция принимает вид и на отрезке имеем

в) Точку пересечения прямых , , где найдём из системы

Прямые , пересекаются на отрезке в точке С (–2,5; 2,5).

г) Точку пересечения прямых и , где найдём из системы

Прямые , на промежутке пересекаются в точке В (5; 10).

д) График функции на отрезке пересекает прямую в двух точках: В (5; 10), С (–2,5; 2,5) (рис.11).

Исходное уравнение при имеет два решения.

Из рисунка (рис.11) для и замечания следует ответ.

Ответ. Если , то нет решений; если , то одно решение; если , то два решения.

Замечание. Графический метод даёт наглядную интерпретацию решения задачи. С помощью этого метода может быть получен ответ наглядно и быстро, но очень часто только графическая интерпретация оказывается недостаточной и для полного обоснования требуются дополнительные исследования.

5. При каких значениях параметра уравнение имеет единственный корень; имеет два корня; не имеет корней?

Решение. 1. Рассмотрим функции где . Построим графики функций и при (областью определения функции является интервал ).

Графиком функции , где является «уголок» с вершиной в точке А (2; 1) и сторонами

Функция для каждого значения параметра а задаёт семейство логарифмических функций,проходящих через точку В (1; 0).

На рисунке 12 а) изображён график функции , где а на рисунке 12 б) изображён график функции , если , при некоторых значениях параметра .

2. Если график функции проходит через точку А (2; 1), то он может пересекать график функции в одной точке А (2; 1) или в двух точках (одна из этих точек А (2; 1)). В этом случае исходное уравнение имеет одно или два корня.

График функции проходит через точку А (2; 1), если

При исходное уравнение принимает вид

(5.1)

3. Уравнение (5.1) равносильно совокупности уравнений

(5.2)

1) Рассмотрим первое уравнение совокупности (5.2).

Так как функция убывает, а функция возрастает, то графики функций пересекаются только в одной точке – это точка (2; 1), а тогда уравнение (5.1) при , а значит и исходное уравнение при и , имеет единственный корень: .

2) Рассмотрим второе уравнение совокупности (5.2).

Найдём число точек пересечений графиков функций при

Рассмотрим функцию

Найдём промежутки монотонности функции .

а) Найдём производную функции . Имеем

б) Определим знак если

Так как , то . Так как функция убывает, если то , а тогда

Таким образом, если . Тогда функция возрастает на интервале

Так как и функция возрастает на интервале , то

(5.3)

Из системы (5.3) следует: графики функций и

не пересекаются при . Это означает, что уравнение (5.1) при , а значит и исходное уравнение при и не имеет корней.

Из 1) и 2) следует, что уравнение (5.1), а значит и исходное при , имеет единственный корень.

4. Построим графики функций и при и . Для этого воспользуемся следующим: так как то найдётся такое значение что для всех выполняется неравенство

На рисунке 12 в) изображены графики функций

если и .

Из рисунка 12 в) следует ответ.

Ответ. Один корень, если ; два корня, если ; нет корней, если

6. Найдите все значения параметра , при которых уравнение имеет единственный корень.

Решение. Рассмотрим функции

Построим графики функций и при (областью определения функции является интервал ).

Графиком функции , где , является «уголок» с вершиной в точке А (2; 1) и сторонами

Функция для каждого значения параметра а задаёт семейство логарифмических функций,проходящих точку В (1; 0).

На рисунке 14 а) и изображён график функции , где а на рисунке 14 б) изображён график функции , если , при некоторых значениях параметра .

2. Если график функции проходит через точку А (2; 1), то он может пересекать график функции в одной точке А (2; 1) или в двух точках (одна из этих точек А (2; 1)). В этом случае исходное уравнение имеет одно или два корня.

График функции проходит через точку А (2; 1), если

При исходное уравнение принимает вид

(6.1)

3. Уравнение (6.1) равносильно совокупности уравнений

(6.2)

1) Рассмотрим первое уравнение совокупности (6.2).

Так как функция убывает, а функция

возрастает, то графики этих функций пересекаются только в одной точке – это точка А (2; 1), а тогда уравнение (6.1) при , а значит и исходное уравнение при и , имеет единственный корень: .

2) Рассмотрим второе уравнение совокупности (6.2).

Найдём число точек пересечений графиков функций ,

при

Рассмотрим функцию

Найдём промежутки монотонности, точки экстремума функции

а) Найдём производную функции . Имеем

б) Из уравнения находим критические точки. Имеем

(Отметим: ).

б) Критическая точка разбивает интервал на интервалы , на каждом из которых сохраняет знак.

в) Определим знаки функции . Знаки функции показаны на рисунке 13.

г) Из рисунка 13. делаем вывод.

Функция убывает на промежутке и возрастает на промежутке (критическая точка, в которой функция определена, принадлежит и промежутку возрастания, и промежутку убывания).

В точке функция имеет минимум. Так как функция убывает на промежутке и то на этом промежутке функция отрицательная. Тогда .

Замечание. Если функция непрерывна на отрезке [ a; b ] и на концах отрезка имеет значения разных знаков, то существует такая точка что

Вычислим:

Так как , и функция непрерывна при , то существует такая точка что Это означает, что функции и пересекаются в точке Тогда уравнение (6.1) при , а значит и исходное уравнение при и , имеет корень.

Из 1) и 2) следует, что исходное уравнение при имеет два корня.

4. Построим графики функций и , если при .

Для этого воспользуемся следующим: так как то найдётся такое значение что для всех выполняется неравенство

На рисунке 14 в) изображены графики функций где , и если и . Из рисунка 14 в) следует, что уравнение ни при каких значениях параметра не имеет единственного корня.

Ответ.

7. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственный корень; имеет два корня; не имеет корней?

Решение. Так как то исходное уравнение имеет решение, если

Рассмотрим функции , , где

1. На плоскости построим график функции , где Имеем

Найдём: и построим график функции , где

Для каждого значения параметра функция задаёт семействопоказательных функций, которые проходят

через точку В (0; 1).

На рисунках 15 а) и б) соответственно изображены графики функций и , где .

2. Если график функции проходит через точку А (3; 2), то он может пересекать график функции в одной точке А (3; 2) или в двух точках (одна из этих точек А (3; 2)). В этом случае исходное уравнение имеет одно или два корня.

График функции проходит через точку А (3; 2), если

При исходное уравнение принимает вид

, где (7.1)

3. Уравнение (7.1) равносильно совокупности уравнений

(7.2)

1) Рассмотрим первое уравнение совокупности (7.2).

Найдём число точек пересечений графиков функций и , где

Рассмотрим функцию

Найдём промежутки монотонности функции

а) Найдём производную функции . Имеем

б) Определим знак

Так как , то . Так как функция

возрастает, то , а тогда

Таким образом, если Тогда функция возрастает на интервале

в) Так как и функция возрастает на интервале , то имеем

Из последней системы следует, что графики функций и не пересекаются при . Это означает, что уравнение (7.1) при , а значит и исходное уравнение при и , не имеет корней.

2) Рассмотрим второе уравнение совокупности (7.2).

Так как функция убывает, а функция возрастает, то графики этих функций пересекаются только в одной точке – это точка А (3; 2), а тогда уравнение (7.1) при а значит и исходное уравнение при и имеет единственный корень.

Из 1) и 2) следует, что уравнение (7.1), а значит и исходное при , имеет единственный корень.

На рисунке 15 в) изображены графики функций , где , , где

Из рисунка следует ответ.

Ответ. Если то корней нет; если то единственный корень; если или , то два корня.

8. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение не имеет решений.

Решение 1. Имеем

Исходное уравнение не имеет решений, если одновременно не имеют решений оба уравнения совокупности (8.1).

Возможны следующие случаи.

1) Если то первое уравнения совокупности (8.1) не имеет

решений, а второе уравнение – имеет решение (это легко проверить). Это означает, что исходное уравнение при имеет решение.

2) Если то второе уравнения совокупности (8.1) не имеет решений. Первое уравнение совокупности (8.1) при принимает вид

Так как уравнение не имеет решений, то и первое уравнения совокупности (8.1) не имеет решений Это означает, что исходное уравнение при не имеет решений.

3) Если то исходное уравнение равносильно совокупности

Совокупность (8.2) не имеет решений при тех значениях параметра а, которые удовлетворяют системе

Из последнего двойного неравенства следует, что исходное уравнение при не имеет решений.

Из 2) и 3) следует ответ.

Ответ. .

9. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет не менее двух решений.

Решение. 1. На плоскости построим множество точек, удовлетворяющих уравнению .

Найдём нули выражений, стоящих под знаком модуля:

Нули выражений, стоящих под знаком модуля:

2. Так как функция линейная на каждом промежутке , , , , то для построения графика функции проделаем следующее.

1) Найдём значения функции в точках и в

точках (принадлежит промежутку ) и (принадлежит интервалу ). Имеем .

2) На плоскости построим точки: (–5; –9), (–4; –8), (0;4), (4;0), (5;1).

3) На каждом промежутке , , , построим часть прямой, проходящей через точки абсциссы, которых принадлежат соответствующему промежутку.

Исходное уравнение будет иметь не менее двух решений при тех значениях параметра , при которых прямые пересекают график функции в двух или трех точках (рис 16). Из рисунка 16 следует ответ.

Ответ. .

10. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение имеет хотя бы один корень.

Решение. 1. Перепишем уравнение в виде

Так как , то последнее уравнение, а значит и исходное уравнение может иметь решение, если

Рассмотрим исходное уравнение при .

2. Запишем уравнение в виде

Рассмотрим функцию где .

а) Если , то при любом раскрытии модулей имеем

Очевидно, Тогда функция (линейная) при возрастает.

б) Если , то при любом раскрытии модулей имеем

Очевидно, Тогда функция при убывает.

Так как при функция возрастает, а при – убывает, то точка – точка максимума.

Определим знаки функции в точках и

Имеем

Так как точка – точка максимума и то исходное уравнение будет иметь хотя бы один корень тогда и только тогда, когда (рисунка 17)

Исходное уравнение имеет хотя бы один корень, если

Ответ.

11. Решите уравнение .

Решение. Рассмотрим функции и

Построим график функции .

Имеем

График функции схематично изображён на рисунке 18.

Число корней исходного уравнения при каждом значении d равно

количеству точек пересечения графиков функций и . Корнями исходного уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций и .

Из рисунка 18 следует, что исходное уравнение: а) не имеет корней, если ; б) имеет бесконечное множество корней, (корнем является любое ), если ; в) имеет два корня, если . Эти корни находятся из совокупности

Итак, если , то исходное уравнение имеет два корня: , ;

Ответ. Если , то два корня (корень меньше b), (корень больше с); если , то бесконечное множество корней, (корнем является любое ); если ,то не имеет корней.

12. Найдите все значения параметра а, при которых уравнение

имеет четыре корня.

Решение. 1. Исходное уравнение равносильно уравнению

Сделаем замену Очевидно,

Исходное уравнение принимает вид

, где (12.1)

2. Рассмотрим квадратное уравнение (12.2)

Если , то корень уравнения (12.2) кратности 2. Для

любого , уравнение (12.2) имеет два различных корня

или .

Исходное уравнение имеет четыре корня при тех значениях пара-

метра, при которых уравнение (12.1) имеет два положительных корня.

3. Рассмотрим уравнение (12.1).

1) Так как , то уравнение (12.1), а значит и исходное уравнение имеет решение, если .

Если то уравнение (12.1) не имеет решений, так как оно принимает вид .

Поиск по сайту: