Уравнение малых поперечных колебаний струны. Под струной обычно понимают нить пренебрежимо малой толщины

Под струной обычно понимают нить пренебрежимо малой толщины. Предположим, что рассматривается натянутая струна, находящаяся в положении равновесия. При возмущении струна выходит из положения равновесия. Предполагаем, что в любой момент времени t профиль струны располагается в одной и той же плоскости (т.е. пространственная деформации отсутствует), и что левы конец струны в положении равновесия соответствует точке , а правый – . Тогда каждой точке струны в положении равновесия можно приписать некоторую координату . Отклонение точек струны от положения равновесия будем называть функцией , которую будем считать достаточно гладкой.

Струна считается абсолютно упругой, т.е. она подчиняется закону Гука. Струна также предполагается абсолютно гибкой, т.е. она не сопротивляется изгибу. Это означает, что возникающие во всех точках струны силы натяжения направлены по касательной к профилю струны.

Колебания считаются малыми, т.е. считается малым, так что .

Осуществим вывод уравнения при наших условиях, положив в его основу физические законы (в частности, второй закон Ньютона).

Пусть – линейная плотность струны, – линейная плотность внешних сил. Отметим, что, вообще говоря, .

Рассмотрим произвольный участок струны . Зафиксируем . Тогда импульс этого участка . Если рассматриваются изменения импульса от до , то .

Учтём действующие силы на участок . При этом будем полагать , т.е. выделенный участок струны строго внутренний. В точке действует сила натяжения . При нашем условии эти силы направлены по касательной к профилю струны. На выделенный участок действуют внешние силы с плотностью .

Изучим свойства силы натяжения:

Рассмотрим компоненты силы по x и u: (здесь значок @ означает «с учётом сделанных приближений»), . Принимая условие о том, что точки струны смещаются перпендикулярно оси Ox, замечаем, что составляющая равнодействующей действующих сил по оси x равна 0, т.е. не зависит от x, т.е. (т.к. это предпоследнее равенство выполняется для любых и ). Изучим поведение . Для этого найдём длину в момент t. Она равна , следовательно, длина участка в процессе колебания остаётся неизменной, т.е. сила натяжения от времени не зависит. Тогда .

Учтём теперь составляющие действующих сил по оси u. Результирующая действующая сила будет иметь вид: . Найдём импульс действующих сил за время от до . По II-му закону Ньютона , т.е. . Упростим полученное выражение, предполагая функцию u дважды непрерывно дифференцируемой, а F – непрерывной. Применяя формулу конечных приращений Лагранжа и теорему о среднем, получаем: , где . Устремим . Тогда и уравнение примет вид: . Таким образом, предположив, что функция описывает колебания струны, получаем, что эта функция является решения этого уравнения. Если струна однородна, то . Тогда уравнение примет вид: , где – скорость распространения волны и удельная плотность внешних сил. Это уравнение называют уравнением колебаний струны.

Заметим, что одно уравнение ещё не определяет процесс колебания струны. Это уравнение требуется дополнить условиями, характеризующими состояние струны в начальный момент и поведение граничных точек . Получим краевые условия в различных предположениях:

1. Если граничные точки и движутся по заданному режиму, то краевые условия примут вид: . В частности, если концы закреплены, то .

2. Пусть на концы струны действуют заданные силы: в и в (считая, то положительное направление для силы – направление растяжения). Как и в случае вывода уравнения, рассмотрим участок струны, одним из концов которого является граничная точка, например. (т.е. ). Тогда . Поступим также: . Аналогично при . Получаются такие условия: , где , . В частности в случае свободных концов и .

3. Упругое закрепление концов: , где и – жёсткость на соответствующих концах, . Более общий случай: , где и – функции, определяемые закреплением.

Из аналогичных соображений можно вывести уравнение, описывающее поперечные колебания мембраны. Это уравнение имеет вид: .

Поиск по сайту: