Уравнения теплопроводности и диффузии

Пусть рассматривается тело, температура в точках которого характеризуется функцией , где x,y и z – координаты, t – время. Пусть также r­ – плотность тела, c – его теплоёмкость, k – коэффициент теплопроводности.

Будем использовать следующие физические законы:

1. Фурье: , где – плотность потока тепла.

2. Фика: , где m – масса рассматриваемого участка, Q – его теплота.

Выделим внутренний объём B рассматриваемого тела с граничной поверхностью . Рассмотрим изменение тепла в объёме B с момента до момента . Имеем: . Пусть внутри тела имеются источники и стоки тепла, характеризующиеся плотностью . Тогда будет определяться функцией F и потоком тепла через . Тогда . Предполагая все рассматриваемые функции непрерывными, получим: . Т.к. и B произвольны, то .

Если и k – постоянные, то , где – это и есть уравнение теплопроводности.

Пусть рассматривается ограниченное тело с границей S. Тогда уравнение или следует дополнить начальными и граничными условиями:

Начальные условия: .

Граничные условия:

1. Задаётся температура на поверхности: .

2. На границе задан тепловой поток: ( – внешняя нормаль – производная по нормали) .

3. На границе происходит теплообмен с окружающей средой. Закон Ньютона: плотность теплового потока с тела в окружающую среду , где q – температура окружающей среды; h – постоянная теплообмена . Тогда .

Аналогичным образом можно записать процесс диффузии вещества. Нужно только учесть следующее: u – концентрация вещества, вместо закона Фурье рассматривается закон Нернста: , где D – коэффициент диффузии, а вместо закона Фика – закон сохранения массы; коэффициент удельной теплоёмкости при этом переходит в коэффициент, учитывающий пористость среды.

Поиск по сайту: