Классификация уравнений с частными производными в случае двух независимых переменных. Их канонический вид

В общем случае уравнение с частными производными второго порядка представляется в виде: . Если это уравнение представляется в виде , то оно называется линейным относительно старших производных.

Будем полагать, что . Сделаем замену переменных: . Предположим, что функции и непрерывно дифференцируемы до второго порядка, причём эта замена невырождена, т.е. . Положим . Тогда . Подставим это в исходное уравнение . Здесь . Сделав замену переменных в исходном уравнении, уравнении произвольного вида, мы перешли к уравнению точно такого же вида. Рассмотрим величину . После замены переменных эта величина переходит в (т.е. D можно сопоставить ). Характерно, что тогда и только тогда, когда , .

Классификация уравнений:

1. – гиперболические;

2. – параболические;

3. – эллиптические.

Если уравнение является гиперболическим, то и уравнение является гиперболическим, следовательно, тип уравнения не меняется при замене переменных. В каждом из этих случаев можно получить канонический вид исходного уравнения с помощью замены переменных.

1. Пусть , т.е. уравнение гиперболическое. Потребуем, чтобы в этом уравнении – решение уравнения . Пусть . Этим уравнениям сопоставляются характеристические уравнения: , первые интегралы которых и являются соответственными решениями первого и второго уравнений. Можно показать, что эти первые интегралы функционально независимы. Выбираем . Оставшееся решение второго уравнения выберем в качестве . Т.е. . Получаем невырожденную замену переменных, причём (т.к. ). Уравнение имеет вид: – первый канонический вид гиперболического уравнения. Можно получить вторую каноническую форму гиперболического уравнения, если положить . Получим: – вторая каноническая форма гиперболического уравнения.

2. – эллиптическое уравнение. Рассуждаем аналогично, но в этом случае , следовательно, уравнение примет вид , где , но в комплексных и . Заметим, что и комплексно сопряжённые. Положим и Тогда – каноническая форма эллиптического уравнения.

3. – параболическое уравнение. Как и прежде, потребуем, чтобы . Пусть для определённости . Тогда , т.к. является решением уравнения . Пусть , где j – первый интеграл этого уравнения. Тогда . При этом из условия следует, что . Выбираем произвольно, но с сохранением условия невырожденности (т.е. якобиан преобразования ). Тогда – каноническое представление параболического уравнения.

При приведении исходного уравнения к каноническому виду приходится решать уравнения с частными производными первого порядка. Характеристики этих вспомогательных уравнений называют характеристиками исходного уравнения.

Если уравнение приводится к виду , то оно называется линейным уравнением. Здесь f – неоднородность уравнения, . Если и c постоянны, то это уравнение называется линейным уравнением с постоянными коэффициентами. В этом случае заменой переменных, как и прежде, его можно привести к каноническому виду:

1. Гиперболическое: либо .

2. Эллиптическое: .

3. Параболическое: .

Можно сделать замену переменных вида либо . Здесь a и b – неопределённые параметры. За счёт их выбора можно убрать из уравнения дополнительно некоторые младшие члены.

Поиск по сайту: