Упражнения. № 1. Решите в целых числах уравнения (6), где a b c a b c

№ 1. Решите в целых числах уравнения (6), где

№ 2. При каких целых числах выражение равно такому целому положительному числу, при делении которого на 4 получается остаток, равный 3?

№ 3. Найдите общий вид чисел, кратных 8, которые при делении на 5 дают о в остатке 3.

№ 4. Разложите число 150 на два положительных слагаемых, одно их которых кратно 11, а второе – 17.

№ 5. Из имеющихся резисторов сопротивлением по 1,2 и 1,7 Ом требуется составить последовательным соединением цепь сопротивлением 11,1 Ом. Сколько резисторов того и другого типа потребуется?

№ 6. Сколькими способами можно уплатить 200 руб., имея денежные купюры по 3 и 5 руб.?

№ 7. Решить уравнения:

1) преобразованием в произведение ,

2) методом проб (в натуральных числах) ,

3) доказательством от противного ,

4) методом единственности ,

5) переходом от частного случая к общему (1990 знаков корня).

№ 8. Решить неопределенные уравнения:

1) , 2)

3) , 4) ,

5) , 6) ,

7) , 8) где - четное число,

9) ,

10) ,

11) , где - данное простое число,

12) ,

13) ,

14) ,

15) ,

16) ,

17) .

№ 9. Решить в натуральных числах уравнения:

1). , 2). , 3). ,

4). , 5). ,

6). , 7). .

№ 10. Найдите наименьшее , при котором

а) уравнение имело бы ровно 6 целых положительных решений;

б) уравнение имело бы ровно 5 целых положительных решений.

№ 11. В каких пределах должно заключаться c, чтобы уравнение имело бы 6 целых положительных решений?

№ 12. Пусть и - натуральные взаимно простые числа. Рассмотрим точки плоскости с целыми координатами , лежащие в полосе . Каждой такой точке припишем целое число .

а) Докажите, что для каждого натурального существует ровно одна точка , что .

б) Теорема Сильвестра. Докажите, что наибольшее , для которого уравнение не имеет решений в целых неотрицательных числах, имеет вид .

№13٭ Пусть числа и взаимно просты. Докажите, что для того, чтобы уравнение имело ровно целых положительных решений, значение должно находиться в пределах .

№14٭ Отметим на прямой красным цветом все точки вида , где и - натуральные, и синим цветом – остальные целые точки. Найдите на прямой такую точку, что любые симметричные относительно нее целые точки закрашены в разные цвета. Объясните, почему такая точка существует.

№15٭ (Гильберт Д.) Всегда ли разрешимо в простых числах и уравнение , где и .

Поиск по сайту: