Упражнения

1. Найти ранг матриц:

а) ; б) ;

в) ; г) .

Ответы: а) 4; б) 2; в) 4; г) 3.

2. Для матрицы примера 7 получить линейную комбинацию первых трех строк, равную пятой строке.

Ответ: , где − обозначения строк.

Системы линейных уравнений. Основные понятия

Системой линейных уравнений с неизвестными (линейной системой) называется система вида

(7)

где − заданные числа. Числа называются коэффициентами системы, а числа - свободными членами.

Линейная система называется однородной, если все свободные члены равны нулю, т.е.

(8)

В противном случае линейная система называется неоднородной.

Решением системы (7) называется упорядоченная совокупность чисел:

, (9)

при подстановке которых вместо каждое уравнение системы обращается в тождество.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной, а система, не имеющая ни одного решения, - несовместной. Совместная система называется определенной, если она имеет единственное решение, и неопределенной, если она имеет более одного решения.

Однородная система (8) всегда совместна, так как она имеет очевидное решение: . Нулевое решение однородной системы называется тривиальным.

Две системы называются равносильными или эквивалентными, если любое решение одной из них является также решением и другой, и обратно, т.е. они имеют одно и то же множество решений. В частности, любые две несовместные системы являются эквивалентными.

Линейную систему можно записать в матричной форме. Введем матрицы:

– матрица коэффициентов при неизвестных,

- матрица-столбец свободных членов,

- матрица-столбец неизвестных.

, , .

Тогда систему (7) можно записать в виде матричного уравнения , а решение (9) в виде матрицы-столбца .

Замечание. Так как и матрицу-столбец, и матрицу-строку называют вектором, то решение системы, когда это удобнее, можно записывать в виде строки .

Матрица коэффициентов

называется основной матрицей системы.

Матрица, составленная из коэффициентов и свободных членов

называется расширенной матрицей системы.

Выражение «решить систему» означает: выяснить, совместна или несовместна система, а в случае совместности – найти все ее решения.

Поиск по сайту: