|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Матрицы и действия с матрицамиВведение
Настоящее пособие предназначено для знакомства с основами линейной алгебры и содержит разделы, посвященные теории матриц и теории систем линейных уравнений. Оно предназначено студентам 1-го курса и может быть полезно всем, кого интересует простое и компактное изложение материала. В каждом параграфе содержатся основы теории, подробно разобраны примеры и приведены упражнения для самостоятельного решения. В конце пособия предлагаются типовые индивидуальные задания. Нумерация формул и рисунков в пособии сквозная. Ключевые слова в определениях и формулировках утверждений выделены курсивом. С развитием компьютерной техники появилась возможность решать многие задачи линейной алгебры, не очень доступные в недалеком прошлом ввиду сложности вычислений. Как известно, для решения математических задач существует много различных программных пакетов. Универсальным пакетом является пакет MATHEMATICA. Примеры вычислений в пакете MATHEMATICA в приложении. Освоив предложенные в пособии методы вручную, рекомендуем проделать вычисления с использованием компьютера. Авторы выражают искреннюю признательность О. М. Дмитриевой и Г. М.Тащияну за неоднократные полезные обсуждения.
Матрицы и действия с матрицами
Матрицей размера либо При необходимости указать размер матрицы будем использовать запись Элементы матрицы, имеющие одинаковые индексы, называются диагональными. Матрица, у которой ниже главной диагонали стоят нули, называется треугольной. Матрица, состоящая из одной строки, называется матрицей-строкой, а матрица, состоящая из одного столбца – матрицей-столбцом. Обе такие матрицы называют также вектором. Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей и обозначается Если число строк матрицы равно числу столбцов, то матрица называется квадратной, а число строк (столбцов) порядком матрицы. Квадратная матрица, у которой только диагональные элементы могут быть не равны нулю, называется диагональной матрицей Диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице, называется единичной матрицей и обозначается В математике матрица рассматривается как самостоятельный математический объект, с которым можно производить различные действия. 1. Транспонирование матрицы. Перестановка в матрице строк со столбцами называется транспонированием матрицы. Матрица, полученная таким образом из исходной называется транспонированной к исходной и обозначается
2. Сравнение матриц. Две матрицы равны, если они имеют одинаковый размер и соответствующие элементы равны:
3. Умножение матрицы на число. Для того чтобы умножить матрицу на число надо умножить на это число все элементы матрицы:
4. Сложение (вычитание) матриц. Сложение (вычитание) матриц проводится поэлементно и возможно для матриц одного размера:
Для перечисленных выше действий справедливы следующие свойства: 5. Умножение матриц. Матрицы перемножаются по правилу «строка на столбец»:
Рис.1
А именно, осуществляется операция, которая называется сумма произведений: элементы, соединенные одной линией перемножаются, а затем результаты умножения складываются. То есть, чтобы получить элемент Умножение матриц возможно только в случае, если число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы. Результат умножения – матрица, имеющая число строк, совпадающее с числом строк первой матрицы, и число столбцов равное числу столбцов второй матрицы. При умножении матрицы на вектор-столбец получаем вектор-столбец. При умножении матрицы на транспонированную к ней получаем квадратную матрицу. Умножение матриц не коммутативно. Более того, при перестановке (коммутации) матриц подчас умножение не возможно. Те квадратные матрицы, для которых выполнено свойство Роль единицы при умножении матриц играет единичная матрица Отметим также свойство умножения для транспонированных матриц
6. Возведение в степень. Для квадратных матриц возможно возведение в натуральную степень, которое проводится как последовательное умножение. При этом очевидно, справедлив коммутативный закон умножения
►Пример 1. а) Даны матрицы:
Выполнить указанные действия: 1) указать размер матрицы 2) записать элемент матрицы 3) найти: а) транспонированную матрицу 4) вычислить 5) вычислить Решение. 1) Матрица 2) Элемент 3) Транспонированная матрица получается из исходной при замене строк на столбцы, а для записи матрицы а) 4) Матрицы
5) Число столбцов матрицы Аналогично возможно и умножение Так как складывать можно только матрицы одного размера, для нахождения матрицы
Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.006 сек.) |