АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция

Собственные значения и собственные векторы матрицы

Читайте также:
  1. I. Определение ранга матрицы
  2. II. Собственные средства банка
  3. II. Умножение матрицы на число
  4. II. Элементарные преобразования. Эквивалентные матрицы.
  5. III. Используемые определения и обозначения
  6. SWOT- анализ и составление матрицы.
  7. А). В любой ветви напряжение и заряд на емкости сохраняют в момент коммутации те значения, которые они имели непосредственно перед коммутацией, и в дальнейшем изменяются,
  8. А. Различие в величине значения отдельных удовлетворений потребностей (субъективный момент)
  9. Активы Собственные оборотные средства
  10. Алгоритм вычисления обратной матрицы.
  11. Алгоритм вычисления обратной матрицы.
  12. Алгоритм Гаусса вычисления ранга матрицы

 

Комплексное число называется собственным числом квадратной матрицы , если существует ненулевой вектор (матрица-столбец) , такой, что выполнено равенство

. (13)

Вектор называется в этом случае собственным вектором матрицы , соответствующим числу .

Собственный вектор определяется с точностью до множителя, т. к. если удовлетворяет уравнению (13), то и вектор , где t – любое число, не равное нулю, тоже удовлетворяет уравнению (13).

Матричное уравнение (13) эквивалентно однородной системе

(14)

Для того чтобы система (14) имела ненулевое решение, необходимо и достаточно, чтобы определитель этой системы был равен нулю:

(15)

Уравнение (15) называется характеристическим уравнением для матрицы и представляет собой алгебраическое уравнение - ой степени относительно . Его корни и являются собственными числами матрицы .

Если матрица - диагональная, т.е.

, (16)

с разными числами по диагонали (), то собственные числа совпадают с диагональными элементами матрицы .

Как известно из курса алгебры , уравнение (15) имеет, по крайней мере, один корень и, следовательно, у любой матрицы есть хотя бы одно собственное число, а пример с матрицей (16) показывает, что у матрицы размера максимум собственных чисел. Чтобы найти собственные числа, надо решить уравнение (15). Для нахождения собственных векторов решается система (14) при найденных значениях .

►Пример 14. Найти собственные числа матрицы .

Решение. Составим характеристическое уравнение и решим его

.

Вычислим определитель:

Уравнение имеет три действительных корня: , которые и являются собственными числами. ◄

►Пример 15. Найти собственные векторыдля матрицы примера 14.

Решение. Для того чтобы найти собственный вектор, соответствующий собственному числу , надо решить систему (14), подставив в нее значение числа . Найдем собственный вектор для числа . Для этого решим однородную систему

Ранг матрицы этой системы равен двум, на единицу меньше числа неизвестных. Решение (см. пример 13) найдем через миноры матрицы

:

Итак, собственный вектор имеет вид , где любое число, не равное нулю. Аналогично находятся два других вектора. ◄

 


1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 |

Поиск по сайту:

Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.003 сек.)