|
|||||||
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция |
Обратная матрица. Решение матричных уравнений
Матрица называется обратной к квадратной матрице , если , где - единичная матрица, имеющая тот же порядок, что и матрица . Обратная матрица существует только в том случае, если , и ее элементы находятся по формуле , где - алгебраическое дополнение к элементу . Внимание! Алгебраические дополнения, которые вычисляются к элементам строки, записываются в столбец. Если , то матрица называется вырожденной, в противном случае невырожденной, т.е. обратная матрица существует только для невырожденных матриц. Обозначается обратная матрица , т.е. , при этом ее определитель . Для невырожденных матриц и выполнены соотношения , . Введение обратной матрицы позволяет решать матричные уравнения. В конечном счете, матричные уравнения сводятся к двум простейшим уравнениям: или . Если матрица - квадратная, невырожденная, то эти уравнения имеют единственное решение, которое можно получить с помощью обратной матрицы. Так как при умножении матриц коммутативный закон не выполняется, они решаются разными способами. При поиске решения первое из уравнений надо умножать на обратную матрицу слева, а второе справа, т.е. , (5) . (6) ►Пример 5. Найти решение матричного уравнения , то есть определить матрицу , если ; . Решение. Решение в матричном виде определяется формулой (5), т.е. , если матрица невырожденная. Вычислим определитель матрицы : . Следовательно, матрица невырожденная, и для нее существует обратная матрица. Проведем вычисления, необходимые для построения обратной матрицы. Вычислим алгебраические дополнения: Составим обратную матрицу и найдем неизвестную матрицу . , При вычислениях множитель рекомендуем оставлять перед матрицей и проводить умножение полученной матрицы на него на последнем этапе вычислений. ►Пример 6. Найти решение матричного уравнения , если . Решение. Формулой (5) воспользоваться нельзя, так как матрица не квадратная, следовательно, для нее не существует обратной матрицы. Умножим обе части уравнения на транспонированную матрицу слева, получаем . Матрица − квадратная и, если ее определитель не равен нулю, то решение заданного уравнения имеет вид . Проведем вычисления: . Определитель полученной матрицы . Следовательно, обратная матрица к матрице существует, и можно найти матрицу :. , , . ◄ Поиск по сайту: |
Все материалы представленные на сайте исключительно с целью ознакомления читателями и не преследуют коммерческих целей или нарушение авторских прав. Студалл.Орг (0.007 сек.) |