 |
АвтоАвтоматизацияАрхитектураАстрономияАудитБиологияБухгалтерияВоенное делоГенетикаГеографияГеологияГосударствоДомДругоеЖурналистика и СМИИзобретательствоИностранные языкиИнформатикаИскусствоИсторияКомпьютерыКулинарияКультураЛексикологияЛитератураЛогикаМаркетингМатематикаМашиностроениеМедицинаМенеджментМеталлы и СваркаМеханикаМузыкаНаселениеОбразованиеОхрана безопасности жизниОхрана ТрудаПедагогикаПолитикаПравоПриборостроениеПрограммированиеПроизводствоПромышленностьПсихологияРадиоРегилияСвязьСоциологияСпортСтандартизацияСтроительствоТехнологииТорговляТуризмФизикаФизиологияФилософияФинансыХимияХозяйствоЦеннообразованиеЧерчениеЭкологияЭконометрикаЭкономикаЭлектроникаЮриспунденкция
А всякое другое решение ему пропорционально
[1]) Одна половина этого утверждения уже была доказана в § 7,
Доказательство. Так как, по условию, ранг матрицы А равен п — 1, то один из миноров Mi должен быть отличен от нуля; пусть это будет Мп. Полагаем в нашей системе неизвестное хп свободным и переносим его в правую часть каждого из уравнений, после чего получим
aii*i+ ацХ2 + - • •+ ai, n-ixn-i— —атхп> аПх1 + 0,^2Х2 ~Ь 4" а2,п — 1Хп—1~ a2nXti’
ап-1, 1х1 + ап-1, * + • ■ • + ая-1, п-1хп-1ап-1,пхп-
Применяя затем правило Крамера, мы получим общее решение заданной системы уравнений, которому после легких преобразований можно придать вид
. М-
*/ = (-1 )a~ljfnxn, <=1,2 п- 1. (3)
Положив хп — (—\)п~1Мп, мы получим: */ = (—I),n“'- 1 Af/, t=l,2 ft—I,
или, г так как разность,(2 л— i — 1)—-(/— 1) = 2 л— 2 i есть четное, число, *,• = (—l)I-IAf,-, т. е. система чисел (2) действительно будет решением нашей системы уравнений. Любое другое решение этой «системы получается из формул (3) при другом числовом значении неизвестного хп, и поэтому оно пропорционально решению (2). Понятно, что, рассматриваемое утверждение справедливо и в том случае, когда Мп = 0, но один из миноров М,-, 1< — 1, отличен от нуля.
Решения системы линейных однородных уравнений обладают следующими свойствами. Если вектор p = Ьг,..Ьп) является решением системы (1), то при любом числе k вектор Ар = (kblt kb2,...,kbn) также будет решением этой системы, что проверяется непосредственной подстановкой в любое из уравнений (1). Если, далее, вектор <у = (сх, с2,..., с„) — еще одно решение системы (1), то для этой системы служит решением и вектор р +y = (^i + ci> 62 + с2, •••
• • *! ^П+ СпУ-
S аи (bJ + ci) = 2 aUbi + % a4ci = °> * = 1.2. •••.«■
/=i /=i /=i
Поэтому вообще всякая линейная комбинация решений однородной системы (1) будет сама решением этой системы. Заметим, что в случае неоднородной системы, т. е. системы линейных уравнений, свободные чл&ны которых не все равны нулю, соответствующее утверждение не имеет места: ни сумма двух решений системы неоднородных уравнений, ни произведение решения этой системы на число не будут уже служить решениями для этой системы.
Мы знаем из § 9, что всякая система л-мерных векторов, состоящая более чем из п векторов, будет линейно зависимой. Отсюда следует, что из числа решений однородной системы (1), являющихся, как мы знаем, л-мерными векторами, можно выбрать конечную максимальную линейно независимую систему, максимальную в том смысле, что всякое другое решение системы (1) будет линейной
комбинацией решений, входящих в эту выбранную систему. Всякая максимальная линейно независимая система решений однородной системы уравнений (1) называется ее фундаментальной системой решений.
Еще раз подчеркнем, что п-мерный вектор тогда и только тогда будет решением системы (1), если он является линейной комбинацией векторов, составляющих данную фундаментальную систему.
Понятно, что фундаментальная система будет существовать лишь в том случае, если система (1) обладает ненулевыми решениями, т. е. если ранг ее матрицы из коэффициентов меньше числа неизвестных. При этом система (1) может обладать многими различными фундаментальными системами решений. Все эти системы эквивалентны, однако, между собой, так как каждый вектор всякой из этих систем линейно выражается через любую другую систему, и поэтому системы состоят из одного и того же числа решений.
Справедлива следующая теорема:
Если ранг г матрицы из коэффициентов системы линейных однородных уравнений (1) меньше числа неизвестных п, то всякая фундаментальная система решений системы (1) состоит из п — г решений.
Для доказательства заметим, что п —г является числом свободных неизвестных в системе (1); пусть свободными будут неизвестные xr+v хг+2, хп. Рассмотрим произвольный отличный от нуля определитель d порядка п —г, который запишем в следующем виде:
| cl, r + l> | cl, | Г + 2' • • | > cln | |
| d = | C2, r + l> | C2> r + 2' | > C2 n | |
| cn-r, r+l> | c„- | Г1 Г + 21 • • | • > cn-r> n |
Беря элементы г-й строки этого определителя, 1<:г=^я — г, в качестве значений для свободных неизвестных, мы, как известно, получим однозначно определенные значения для неизвестных jc1, х2,..., хг, т. е. придем к вполне определенному решению системы уравнений (1); запишем это решение в виде вектора
aj,== (С(1> С12> • • •) cin ci, r + l’ ci, r + 2> • • •» cin)'
Полученная нами система векторов al7 а2,..а„_г служит для системы уравнений (1) фундаментальной системой решений. В самом деле, эта система векторов линейно независима, так как матрица, составленная из этих векторов как из строк, содержит отличный от нуля минор d порядка п —г. С другой стороны, пусть
Р ~\Pl J ^ 2! • * •> bfi br + 1, br + 2,..., b^j
будет произвольное решение системы уравнений (1). Докажем, что вектор р линейно выражается через векторы ах, а2, а„_г.
Обозначим через ос', / = 1, 2, п — г, i -ю строку определителя d, рассматриваемую как (п — г)-мерный вектор. Положим, далее,
Р ~ (ЬГ + 1, &г + 2, • • •) Ьп).
Векторы а', 1 — 1, 2,...,п — г, линейно независимы, так как d^O. Однако система (п — г)-мерных векторов
«1 -р'
линейно зависима, так как в ней число векторов больше их размерности. Существуют, следовательно, такие числа kt, k2,...,kn_r, что
Р' = kia1 + & 2 аг +... + kn_ra'n_r. (4)
Рассмотрим теперь я-мерный вектор
6 = + • * • ^n—r^n—r Р*
Вектор б, являясь линейной комбинацией решений системы однородных уравнений (1), сам будет решением этой системы. Из (4) следует, чю в решении б значения для всех свободных неизвестных равны нулю. Однако то единственное решение системы уравнений (1), которое получается при равных нулю значениях для свободных неизвестных, будет нулевым решением. Таким образом, 6 = 0, т. е.
Р = fexax + &2 СС 2 + • • < + kn-rari-f
Теорема доказана.
Заметим, что проведенное выше доказательство позволяет утверждать, что мы получим все фундаментальные системы решений системы однородных уравнений (1), беря в качестве d всевозможные отличные от нуля определители порядка п — г.
Пример. Дана система линейных однородных уравнений
3*^ + *2— 8лг3+ 2*4 + л;5 = 0, \
2х х— 2%— З*3— 7*4+ 2*б = О, I
*1 + 11*2—12*з + 34*4—5*5 = 0, I
*!— 5*2+ 2*3—16*4 + 3*5 = 0. J
Ранг матрицы из коэффициентов равен двум, число неизвестных равно пяти, поэтому всякая фундаментальная система решений этой системы уравнений состоит из трех решений. Решим систему, ограничиваясь первыми
двумя линейно независимыми уравнениями и считая х3, х4, хъ свободными неизвестными. Мы получим общее решение в виде
*2 g *3 g *4 ~Ь 2
7 25, 1
Берем, далее, следующие три линейно независимых трехмерных вектора (1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1). Подставляя компоненты каждого из них в общее решение в качестве значений для свободных неизвестных и вычисляя значения для Xi и х2, мы получим следующую- фундаментальную систему решений заданной системы уравнений:
Мы закончим параграф рассмотрением связи, существующей между решениями неоднородных и однородных систем. Пусть дана система линейных неоднородных уравнений:
&11Х1 Ч- ^12-^2 + • • • "Г а1пХп ~ Ь\1 ^
а21Х1 а22Х2 Н- • • • Ч- ®2пХп — ^21
аА* 1 + ая*г + • • • + V» = Ъг
Система линейных однородных уравнений:
(5)
<* 11*1 + <* 12*2 + • • • + «хА = 0. '
&21Х1 “Ь «2»*» =
«,1*1 + as2X2 + • • • + asnXn = 0,
(6)
>
полученная из системы (5) заменой свободных членов нулями, называется приведенной системой для системы (5). Между решениями систем- (5) и (6) существует тесная связь, как показывают следующие две теоремы.
14 Сумма любого решения системы (5) с любым решением приведенной системы (6) снова будет решением системы (5).
В самом деле, пусть сх, с2,..., сп —решение системы (5), dlt d2,..., dn — решение системы (6). Берем любое из уравнений системы (5), например k-e, и вставляем в него вместо неизвестных числа + c 2 + rf2, cn-\-dn. Мы получим:
п
п
п
2 akj (CJ + dj) — 2 akjcj + 2 akjdj — h + ® ~ h'
/=1
/= 1
15 Разность любых двух решений системы (5) служит решением для приведенной системы (6).
Действительно, пусть с1( с2,..., сп и с', с', — решения
системы (5). Берем любое из уравнений системы (6), например k-e, и подставляем в него вместо неизвестных числа
ci сх> с2 с2> •••> Сп сп-
Мы получим:
п п п
2 aki («у - с]) = 2 ak/°j - 2 akic)=bk-K=°- i =i /=i /=i
Из этих теорем вытекает, что, найдя одно решение системы линейных неоднородных уравнений (5) й складывая его с каждым из решений приведенной системы (6), мы получим все решения системы (5).
АЛГЕБРА МАТРИЦ § 13. Умножение матриц
В предшествующих главах понятие матрицы было использовано в качестве существенного вспомогательного, орудия при изучении систем линейных уравнений. Многочисленные другие применения этого понятия сделали его предметом большой самостоятельной теории, во многих своих частях выходящей за пределы нашего курса. Мы займемся сейчас основами этой теории, начинающимися с того, что в множестве всех'квадратных матриц данного порядка своеобразным, но вполне мотивированным способом определяются две алгебраические операции — сложение и умножение. Мы начнем с определения умножения матриц; сложение матриц будет введено в § 15.
Из курса аналитической геометрии известно, что при повороте осей прямоугольной системы координат на плоскости на угол а координаты точки преобразуются по следующим формулам:
х—х' cosa— у' sina, у=х' sin а-\-у' cosa,
где х, у — старые координаты точки, х ', у' — ее новые координаты; таким образом, х и у выражаются через х’ и у' линейно с некоторыми числовыми коэффициентами. Во многих других случаях также приходится встречаться с заменой неизвестных (или переменных), при которой старые неизвестные линейно выражаются через новые; такую замену неизвестных называют обычно их линейным преобразованием (или линейной подстановкой). Мы приходим, следовательно, к такому определению:
Линейным преобразованием неизвестных называется такой переход от системы п неизвестных хъ хг,..., хп к системе п неизвестных уъ у2,..., уп! при котором старые неизвестные выражаются через новые линейно с некоторыми числовыми коэффициентами:
xi = аиУ 1 + а 1 ьУи + • • • + а1пУ„, хг ~ аг\У \~Ь ааУ‘2. "Ь ■ • ■ ~Ь а2пУп’
Линейное преобразование (1) вполне определяется своей матрицей из коэффициентов
аи fl12 • • • а1п\
#21 а22 • • • а2п j
ап1 ап% • * • апп/
так как два линейных преобразования с одной и той же матрицей могут отличаться друг от друга лишь буквами, принятыми для обозначения неизвестных; мы будем считать, одйако, что выбор этих обозначений целиком находится в нашем распоряжении. Обратно, задавая произвольную матрицу л-го порядка, мы сейчас же можем написать линейное преобразование, для которого эта матрица служит матрицей коэффициентов. Таким образом, между линейными преобразованиями п неизвестных и квадратными матрицами л-го порядка существует взаимно однозначное соответствие, а поэтому всякому понятию, связанному с линейными'преобразованиями, и всякому свойству этих преобразований должно соответствовать аналогичное понятие или свойство, относящееся к матрицам.
Рассмотрим вопрос о последовательном выполнении двух линейных преобразований. Пусть вслед за линейным преобразованием (1) выполнено линейное преобразование
У г = *11*1 + *12*2 + • • • + hnZn.
У г — Ь21гг + -f-... -j- b2nzn,
Уп — bnxzx + bn2z2 +... -f bnttzn,
переводящее систему неизвестных y\,y2,...,y nв систему гъ z2,...,zn; матрицу этого преобразования обозначим через В. Подставляя в (1) выражения для^, _у2,..,,уп из (2), мы придем к линейным выражениям для неизвестных хи х2,..., хп через неизвестные гг, z2,..., zn. Таким образом, результат последовательного выполнения двух линейных преобразований неизвестных снова будет линейным преобразованием.
Пример. Результатом последовательного выполнения линейных преобразований
*, = 3 Ух —У 2, Ух = Zt + z2,
Н=У\ +% 2. У 2 = 4z;. + 2za будет линейное преобразование
*l = 3(zl+Z2)— (4Z!+22 2)=—Z! + 2 j,
*2 7 = (г1 + гг) + 5 (4zj + 2 z2) = 21 гх + llz2.
Обозначим через С матрицу линейного преобразования, являющегося результатом последовательного выполнения преобразований (1) и (2), и найдем закон, по которому ее элементы cik, i,k= 1, 2,...,л,
выражаются через элементы матриц А м. В. Коротко записывая преобразования (1) и (2) в виде
П П
*1=ЩЕа1/’Ур *= 1, 2,..., л; у,= У= 1. 2. •••> л>
У = 1 А = 1
мы получим
*<• = 2 аи {2 bjkzk ^ = 2 (2 anbik)i =i. 2,..., п.
/=i \ft=i / \/=i /
Таким образом, коэффициент при в выражении для лгг, т. е. элемент cik матрицы С, имеет вид
П
Cik = 2 a4bjk = ailblh + ai1b2k + • • • -f ainbnk’ (3)
I-i
элемент матрицы С, стоящий в i-й строке и k-м столбце, равен сумме произведений соответственных элементов i-й строки матрицы А и k-го столбца матрицы В.
Формула (3), дающая выражение элементов матрицы С через элементы матриц А к В, позволяет при заданных матрицах А и В сразу написать матрицу С, минуя рассмотрение линейных преобразований, соответствующих матрицам Лий. Этим путем всякой паре квадратных матриц л-го порядка ставится в соответствие однозначно определенная третья матрица. Можно сказать, что мы определили в множестве всех квадратных матриц л-го порядка алгебраическую операцию; она называется умножением матриц, а матрица С— произведением матрицы А на матрицу В:
С = АВ.
Еще раз сформулируем связь между линейными преобразованиями и умножением матриц:
Линейное преобразование неизвестных, полученное в результате последовательного выполнения двух линейных преобразований с матрицами А и В, имеет своей матрицей коэффициентов матрицу АВ.
Примеры.
Г 4 9W 1 -3W 4-1+9-(—2) 4-(-3) + 9.1\_ Н-1 зМ-2 U \(—1)*1+3'(— 2) (—1)• (—3)-f-3-iy
/2 0 1ч /—3 1 0\ /— 6 1 3\
2) (—2 3 2 ]. (0 2 1) = (6 2 9). V 4—15/ V 0—13/ 4 — 12 —3 14/
4) Найти результат последовательного выполнения линейных преобразований
*1 = 5^1 —Уз + З^3,
= */х —2 Уз,
*3 = 7 и* у3
и
yy = 2Zi + 2 3,
у 2 = z2 5 zs,
2 /з= 2 г2.
Перемножая матрицы, получим:
/5—1 3\ /2 О К /10 5 10ч (1 —2 0 } I (0 1 — 5)Ц 2 —2 11),
\0 7 —1/ \0 2 0/ \ 0 5 —35/
поэтому искомое линейное преобразование имеет вид:
*1= 10.?! + 5г2 + 10z3,
^==22!—2г2+11г3, х3 = 5z2—35z3.
Возьмем один из рассмотренных сейчас примеров умножения матриц, например 2), и найдем.произведение тех же матриц, но взятых в обратном порядке:
/—3 1 0 \ / 2 0 1 \ г — 8 3 — 1 \
О 2 1.-2 3 2 1 = 0 5 9. у 0 —1 Зу \ 4—1 5 j \ 14 —6 13 у
Мы видим, что произведение матриц зависит от порядка множителей, т. е. умножение матриц некоммутативно. Этого, впрочем, следовало ожидать, уже хотя бы потому, что в определение матрицы С, данное выше при помощи формулы (3), матрицы А и В входят неравноправным образом: в А берутся строки, в В — столбцы.
Примеры неперестановочных матриц л-ro порядка, т. е. матриц, произведение которых меняется при перестановке сомножителей, можно указать для всех л, начиная с л = 2 (матрицы второго порядка в примере 1) неперестановочны). С другой стороны, две данные матрицы случайно могут оказаться перестановочными, как показывает следующий пример:
/ 7 —12\ /26 45\ /26 45\ / 7 —12\ /2 3\
V—4 7у * (,15 26y = Vl5 26/ ‘ V —4 7/ = (^1 2У ‘
Умножение матриц ассоциативно■ можно говорить, следовательно, об однозначно определенном произведении любого конечного числа матриц л-го порядка, взятых (ввиду некоммутативности умножения) в определенном порядке.
Доказательство. Пусть даны три произвольные матрицы й-го порядка Л, В и С. Запишем их следующим сокращенным способом, указывающим общий вид их элементов: A~(ai}), £=(&(-;), С=(с;у). Введем, далее, следующие обозначения:
АВ= U= (и,7), ВС= V= (vu),
(АВ) (%), А (ВС) = Т= (tu).
Нам нужно доказать справедливость равенства (АВ)С—А(ВС), т. е. S—T. Однако
П П
*и = 2 в/Аг, vkj= 2 bktctJ,
fe = l I =1
и поэтому, ввиду равенств S=UC, T—AV,
п п п
s/j == 2 ииси— 2 2 °iФыс1]'
I -1 1=1k~\
п п п
Uj~ 2 aikvkj= 2 2 aik^kf tj<
A=l k = 1 / = 1
т. е. Sjj — t{/ при-i,- /'= 1, 2, п.
Дальнейшее изучение свойств умножения матриц требует привлечения их определителей, причем мы условимся для краткости обозначать определитель матрицы А через |Л|. Если читатель в каждом из рассмотренных выше примеров подсчитает определители перемножаемых матриц и сравнит произведение этих определителей с определителем произведения заданных матриц, то обнаружит весьма любопытную закономерность, выражаемую следующей очень важной т е о р е м о й об умножении определителей:
Поиск по сайту: