Всякие две эквивалентные линейно независимые системы векторов содержат равное число векторов

Из полученных результатов можно вывести и другие следствия. Если в данной линейно зависимой системе векторов взяты две в ней максимальные линейно независимые подсистемы, т. е. такие подсистемы, к которым нельзя присоединить ни одного вектора нашей системы, не нарушая линейной независимости, то эти подсистемы содержат равное число векторов.

а_и а₂,.. a_s, s<r, (14)

будет максимальной линейно независимой подсистемой, то всякий из векторов ct_{s + 1},..., а, будет линейно выражаться через систему (14). С другой стороны, всякий вектор а_; из системы (13) линейно вы­ражается через эту систему: достаточно взять при самом век­торе а,- коэффициент 1, а при всех остальных векторах системы коэффициент 0. Теперь легко видеть, что системы (13) и (14) экви­валентны. Отсюда следует, что система (13) эквивалентна всякой из своих максимальных линейно независимых подсистем, а поэтому все

эти подсистемы эквивалентны между собой, т. е., будучи линейно независимыми, содержат по одному и тому же числу векторов.

Число векторов, входящих в любую максимальную линейно не­зависимую подсистему данной системы векторов, называется рангом этой системы. Используя это понятие, выведем еще одно следствие из основной теоремы.

Пусть даны две системы п-мерных векторов:

а_1; а₂, а, (15)

Pi, Р„.... Р„ (16)

В самом деле, пусть

а,,, а «г* (17)

и

Р/,, Рд, • • •. P/i (58)

будут, соответственно, любые максимальные линейно независимые подсистемы систем (15) и (16). Тогда системы (15) и (17) эквива­лентны между собой, и это же верно для систем (16) и (18). Из того, что система (15) линейно выражается через систему (16), вы­текает теперь, что система (17) также линейно выражается через систему (16), а поэтому и через эквивалентную ей систему (18), после чего остается, используя линейную независимость системы (17), применить основную теорему. Второе утверждение доказываемого следствия непосредственно вытекает из первого.

§ 10. Ранг матрицы

Если дана некоторая система л-мерных векторов, то возникает естественный вопрос, является ли эта система векторов линейно зависимой или нет. Нельзя рассчитывать на то, что в каждом кон­кретном случае решение этого вопроса будет получено без затруд­нений: при поверхностном рассмотрении системы векторов

а = (2,-5, 1, -1), Р = (1, 3, 6, 5), Y = (~l, 4, 1, 2)

трудно заметить в ней какие-либо линейные зависимости, хотя в дей­ствительности эти векторы связаны соотношением

7а—Зр + 11 у = 0

Один метод для решения этого вопроса дает § 1; так как ком­поненты заданных векторов нам известны, то, считая неизвестными

РАНГ МАТРИЦЫ

коэффициенты искомой линейной зависимости, мы получаем систему линейных однородных уравнений, которую и решаем методом Гаусса. В настоящем параграфе будет указан другой подход к рассматри­ваемому вопросу; одновременно мы значительно приблизимся к на­шей основной цели — решению произвольных систем линейных урав­нений.

Пусть дана матрица

содержащая s строк и п столбцов, причем числа s и п никак не связаны между собой. Столбцы этой матрицы, рассматриваемые как s-мерные векторы, могут, вообще говоря, быть линейно зависимыми. Ранг системы столбцов, т. е. максимальное число линейно незави­симых столбцов матрицы А (точнее, число столбцов, входящих в любую максимальную линейно независимую подсистему системы столбцов), называется рангом этой матрицы.

Понятно, что подобным же образом строки матрицы А можно рассматривать как /z-мерные векторы. Оказывается, что ранг системы строк матрицы равен рангу системы ее столбцов, т. е. равен рангу этой матрицы. Доказательство этого весьма неожиданного утвер­ждения будет получено после того, как мы укажем еще одну форму определения ранга матрицы, дающую заодно способ его практического вычисления.

Обобщим сначала на случай прямоугольных матриц понятие ми­нора. Выбираем в матрице А произвольные k строк и k столбцов, Au^min(s, п). Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столб­цов, составляют квадратную матрицу k-vo порядка, определитель которой называется манором k-го порядка матрицы А. Дальше нас будут интересовать порядки тех миноров матрицы А, которые отличны от нуля, а именно наивысший среди этих поряд­ков. При его разыскании полезно учитывать следующее замечание: если все миноры k-го порядка матрицы А равны нулю, то равны нулю и все миноры более высоких порядков. В самом деле, раз­лагая всякий минор порядка min (s, л), на осно­вании теоремы Лапласа, по любым k строкам, мы представим этот минор в виде суммы миноров порядка k, умноженных на некоторые миноры порядка j, и этим докажем, что он равен нулю.

Докажем теперь следующую т е о р е м у о ранге матрицы:

Поиск по сайту: