Всякие s векторов п-мерного векторного пространства со- ставляют при линейно зависимую систему

Пусть, в самом деле, нам даны векторы

^а 12 > •••> ^а1п)<

^as — (^asl’ ^аА, •••-

Нам нужно подобрать такие числа k_lt k₂,..., k_s, не все равные нулю, что

/г_ха_х + /г ₂ а ₂ +... +£_sa_s=0. (4)

Переходя от равенства (4) к соответствующим равенствам между компонентами, получаем

^а 11^1 + ^а«1^2 + • • • + = 0,

”t~ “Ь • • •

^ain^ki + ^azn^ki+ • • • +a_snk_s— 0. ^

Равенства (5) составляют, однако, систему я линейных однородных уравнений относительно s неизвестных k_t, k₂,..., k_s. Число урав­нений в этой системе меньше числа неизвестных, а поэтому, как доказано в конце § 1, эта система обладает ненулевыми решениями. Таким образом, можно подобрать числа й_х, k₂,..., k_s, не все рав­ные нулю, которые удовлетворяют требованию (4). Теорема доказана.

Назовем линейно независимую систему я-мерных векторов

а_х, а₂,..., а, (6)

максимальной линейно независимой системой, если добавление к этой системе любого я-мерного вектора (5 дает уже линейно зависимую систему. Так как во всякой линейной зависимости, связывающей векторы а_х, а₂,..., а_п {$, коэффициент при |3 должен быть отлич­ным от нуля — иначе система (6) была бы линейно зависимой, — to вектор р линейно выражается через векторы (6). Поэтому система векторов (6) тогда и только тогда будет максимальной линейно не­зависимой системой, если векторы (6) линейно независимы, а любой я-мерный вектор |3 является их линейной комбинацией.

Из результатов, полученных выше, вытекает, что в п-мерном про­странстве всякая линейно независимая система, состоящая из п векторов, будет максимальной, а также что любая максималь­ная линейно независимая система векторов этого пространства состоит не более чем из п векторов.

мой системе. В самом деле, если заданная система векторов не максимальна, то к ней можно добавить один вектор так, что по­лученная система останется линейно независимой. Если эта новая си­стема все еще не максимальна-, то к ней можно добавить еще один вектор, и т. д. Этот процесс не может, однако, продол­жаться бесконечно, так как уже любая система л-мерных векторов, состоящая из я-j-l вектора, будет линейно зависимой.

Так как всякая система, состоящая из одного ненулевого век­тора, линейно независима, то мы получаем, что всякий ненулевой вектор содержится в некоторой максимальной линейно неза­висимой системе, а поэтому в п-мерном векторном простран­стве существует бесконечно много различных максимальных линейно независимых систем векторов.

мой системе. В самом деле, если заданная система векторов не максимальна, то к ней можно добавить один вектор так, что по­лученная система останется линейно независимой. Если эта новая си­стема все еще не максимальна-, то к ней можно добавить еще один вектор, и т. д. Этот процесс не может, однако, продол­жаться бесконечно, так как уже любая система л-мерных векторов, состоящая из я-j-l вектора, будет линейно зависимой.

Так как всякая система, состоящая из одного ненулевого век­тора, линейно независима, то мы получаем, что всякий ненулевой вектор содержится в некоторой максимальной линейно неза­висимой системе, а поэтому в п-мерном векторном простран­стве существует бесконечно много различных максимальных линейно независимых систем векторов.